高等数学学习笔记 ☞ 连续函数的运算与性质

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原创最新推荐文章于 2026-07-09 16:30:32 发布 1.5k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

复合函数的极限与连续目录复合函数的极限运算法则复合函数的连续性大背景：复合函数极限的运算法则这一节中，着重介绍的是函数极限的运算，故在这节中考虑的是函数极限的存在，并没有去涉及到后面所讲到的复合函数的连续性。复合函数的极限运算法则解释简单总结：满足以上条件时，复合函数的极限是外函数的极限几何示意图说明为什么定义中是g(x)≠u0所举的反例例子： g(x)=1 (x∈R)，f(u)为分段函数：当u≠1时，f(u)=u；当u=1时，f(u)=2，取x0=1，则u0=1，【g(x)=u0 阅读详情

1. 连续函数的运算

1. 连续函数的四则运算：

（1）若函数 $f(x),g(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，则函数 $f(x)\pm g(x),f(x)* g(x),f(x)/ g(x)(g(x_{0})\neq 0)$ 在点 $x_{0}$ 处也连续。

（2）若函数 $f(x),g(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则函数 $f(x)\pm g(x),f(x)* g(x),f(x)/ g(x)(g(x_{0})\neq 0)$ 在区间 $I$ 上也连续。

2. 反函数的连续性：

若函数 $y=f(x)$ 在定义域 $I_{x}$ 上是单调且连续的，那么其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在定义域 $I_{y}=\left \{ y|y=f(x),x\in I_{x} \right \}$ 上

也是单调且连续的。

备注：上述声明函数 $y=f(x)$ 必须是单调的，目的是保证函数 $y=f(x)$ 存在反函数。

3. 复合函数的连续性：

已知函数 $u = g(x)$ 在 $x= x_{0}$ 处连续，函数 $y=f(u)$ 在 $u= u_{0}=g(x_{0})$ 处连续，那么函数 $f[g(x)]$ 在 $x= x_{0}$ 处连续。

与此同时，有： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f[g(x)]=f(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x))$ 。 $\Leftarrow$ 复合函数在该点连续时才能使用此公式。

备注：复合函数：通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。

4. (基本)初等函数的连续性：

（1）基本初等函数在其定义域内是连续的。（2）初等函数在其定义域内是连续的。

备注：

①：初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方以及有限次函数复合而产生，

并且可以用一个解析式表达的函数。

②：幂指函数：形如 $y=u(x)^{v(x)}$ 的函数。幂指函数不属于初等函数,属于复合函数,常用处理方式: $y=e^{ln^{u(x)^{v(x)}}}=e^{v(x)ln^{u(x)}}$ 。

2. 闭区间上连续函数的性质

1. 最值与最值点：最大值(点)与最小值(点)

（1）最大值：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$ ，存在 $x_{0}\in I$ ，对于 $\forall x\in I$ ，都有 $f(x)\leq f(x_{0})$ ，则称 $f(x_{0})$ 是函数 $f(x)$ 的最大值。

（2）最小值：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$ ，存在 $x_{0}\in I$ ，对于 $\forall x\in I$ ，都有 $f(x)\geq f(x_{0})$ ，则称 $f(x_{0})$ 是函数 $f(x)$ 的最小值。

（3）最大值点：函数 $f(x)$ 取得最大值时所对应的点，称为最大值点。

（4）最小值点：函数 $f(x)$ 取得最小值时所对应的点，称为最小值点。

备注：

①：函数 $f(x)$ 的最大值与最小值是可以不存在的，比如单调函数在区间端点无定义。

②：若函数 $f(x)$ 的最大值与最小值存在，那么最大值和最小值是唯一的，是可以相等的，但最大值要大于等于最小值。

③：若函数 $f(x)$ 的最大值与最小值存在，那么最大值点和最小值点不一定是唯一的。

2. 闭区间上连续函数的性质：

（1）最大值和最小值定理：在闭区间上连续的函数，一定存在最大值和最小值。

（2）有界性定理：在闭区间上连续的函数，在该区间上一定有界。

（3）零点定理：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续的，若 $f(a),f(b)$ 是异号的(即： $f(a)*f(b)<0$ )，