高等数学学习笔记 ☞ 函数的求导法则

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于 2025-01-08 11:05:16 发布 · 1.7k 阅读

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#反函数求导 #复合函数求导 #隐函数求导 #参数方程求导

1. 函数和差积商的求导法则

设 $u=u(x),v=v(x)$ 均可导，则：

（1） $({u\pm v})'={u}'\pm {v}'$ 。（2） $({Cu})'=C{u}'$ ，其中 $C$ 为常数。

（3） $({uv})'={u}'v+ u{v}'$ 。 $\Rightarrow$ $({uvw})'={u}'vw+ u{v}'w+ uv{w}'$ 。（4） $({\frac{u}{v}})'=\frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}$ ，其中 $v\neq 0$ 。

2. 反函数的求导法则

备注：

①：函数与其反函数表示的都是同样两个集合之间的同样的对应关系，只不过这个对应过程是反过来的。反函数真正“反”的是

对应关系，而不是变量符号。

②：反函数求导时，需要保证函数与其反函数的式子中所使用的变量符号相同，同时表示的集合也要相同，即 $x$ 一定表示 $x$ 所在

的集合， $y$ 一定表示 $y$ 所在的集合，故对反函数求导时需要用本义反函数。

$eg:y =sinx\rightarrow x=arcsiny$ ； $eg:x =siny\rightarrow y=arcsinx$ 。

反函数的求导法则：如果函数 $x = f(y)$ 在区间 $I_{y}$ 内单调、可导且 ${f}'(y)\neq 0$ ，那么它的本义反函数

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