高等数学学习笔记 ☞ 基本初等函数

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#基本初等函数

于 2024-12-26 22:10:43 首次发布

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1. 幂函数

（1）定义：形如 $y =x^{u}$ ， $x\in R$ 的函数。

（2）常见幂函数： $y = \sqrt[3]{x}$ ， $y = \sqrt[2]{x}$ ； $y=x$ ， $y=x^{2}$ ， $y=x^{3}$ ； $y=1/x$ ， $y=1/x^{2}$ ， $y=1/x^{3}$ 。
（3）图像：

	$y =\pm \sqrt[3]{x}$	$y = \sqrt[2]{x}$	$y=x^{2}$	$y=x^{3}$
图像

（4）运算法则：

①：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

③：同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。 ④：同指数幂相除，指数不变，底数相除。

⑤：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ 。 ⑥：分式乘方，分子分母分别乘方，指数不变。

⑦：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的值相乘，即 $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ 。 ⑧： $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ 。

备注：①：零指数幂： $a^{0}=1(a\neq 0)$ 。 ②：负指数幂： $a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}$ 。

2. 指数函数

（1）定义：形如 $y =a^{x}$ ， $a>0$ 且 $a$ ≠ 1， $x\in R$ 的函数。

（2）图像：

	$y =a^{x}(0<a<1)$	$y =a^{x}(a>1)$	$y =e^{x}$
图像
定义域	$R$	$R$	$R$
值域	$(0,+\infty)$	$(0,+\infty)$	$(0,+\infty)$
过点	$(0,1)$	$(0,1)$	$(0,1)$
趋势	底越小，图像越靠近坐标轴	底越大，图像越靠近坐标轴	上图： $a\rightarrow e$

（3）运算法则：

①：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

③：同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。 ④：同指数幂相除，指数不变，底数相除。

⑤：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ 。 ⑥：分式乘方，分子分母分别乘方，指数不变。

⑦：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的值相乘，即 $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ 。

⑧： $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ 。 ⑨： $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)$ .

备注：①：零指数幂： $a^{0}=1(a\neq 0)$ 。 ②：负指数幂： $a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}$ 。

3. 对数函数

（1）定义：形如 $y =log_{a}^{x}$ ， $a>0$ 且 $a$ ≠ 1， $x>0$ 的函数。

（2）图像：

	$y =log_{a}^{x}(0<a<1)$	$y =log_{a}^{x}(a>1)$	$y =log_{e}^{x}=ln^{x}$
图像
定义域	$(0,+\infty)$	$(0,+\infty)$	$(0,+\infty)$
值域	$R$	$R$	$R$
过点	$(1,0)$	$(1,0)$	$(1,0)$
趋势	底越小，图像越靠近坐标轴	底越大，图像越靠近坐标轴	上图： $a\rightarrow e$

（3）运算法则：

①： $log_{a}^{(m*n)}=log_{a}^{m}+log_{a}^{n}$ ②： $log_{a}^{\frac{m}{n}}=log_{a}^{m}-log_{a}^{n}$ ③： $log_{a}^{b}=\frac{log_{c}^{b}}{log_{c}^{a}}$

④： $log_{a}^{M^{n}}=nlog_{a}^{M}$ ⑤： $a^{log_{a}^{N}}=N$ ⑥： $log_{a}^{N} = b\Leftrightarrow a^{b}=N$

⑦： $log_{a}^{b} * log_{b}^{a} =1$ ⑧： $log_{a}^{f(x)}=log_{a}^{g(x)}\Leftrightarrow f(x) = g(x)$

4. 三角函数

（1）常用关系式：

①： $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ ②： $tanx*cotx=1$

③： $tanx= sinx/cosx$ ④： $cotx=cosx/sinx$

⑤： $secx*cosx=1$ ⑥： $cscx*sinx=1$

⑦： $sec^2{x}-tan^{2}x=1$ ⑧： $csc^{2}x-cot^{2}x=1$

（2）常见三角函数： $y=sinx$ ， $y=cosx$ ， $y=tanx$ ， $y=cotx$ ， $y=secx$ ， $y=cscx$ 。

（3）图像：

	$y=cosx$	$y=sinx$	$y=tanx$	$y=cotx$	$y=secx$	$y=cscx$
图像
定义域	$R$	$R$	{ $x$ \| $x$ ≠ $k\pi$ + $\frac{\pi }{2}$ , $k$ ∈ $z$ }	{ $x$ \| $x$ ≠ $k\pi$ , $k$ ∈ $z$ }	{ $x$ \| $x$ ≠ $k\pi$ + $\frac{\pi }{2}$ , $k$ ∈ $z$ }	{ $x$ \| $x$ ≠ $k\pi$ , $k$ ∈ $z$ }
值域	[-1,1]	[-1,1]	$R$	$R$	(- $\infty$ ,-1] ∪ [1,+ $\infty$ ）	(- $\infty$ ,-1] ∪ [1,+ $\infty$ ）
周期	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$	$\pi$	$2\pi$	$2\pi$

5. 反三角函数

（1）反三角函数：①：反三角函数属于反函数，其直接函数是三角函数；②：反三角函数与三角函数关于 $y=x$ 对称。

（2）常见反三角函数： $y=arcsinx$ ， $y=arccosx$ ， $y=arctanx$ ， $y=arccotx$ 。

（3）图像：

	$y=arcsinx$	$y=arccosx$	$y=arctanx$	$y=arccotx$
图像
定义域	[-1,1]	[-1,1]	$R$	$R$
值域	[- $\pi$ /2, $\pi$ /2]	[0, $\pi$ ]	(- $\pi$ /2, $\pi$ /2)	(0, $\pi$ )
周期	非周期函数	非周期函数	非周期函数	非周期函数