高等数学学习笔记 ☞ 数列与数列的极限

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#等差数列 #等比数列 #数列的极限

于 2024-12-29 23:56:28 首次发布

1. 数列基本概念

1. 定义：就是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的一列有序的数。

备注：
①：数列中的每一个数叫做这个数列的项。

②：排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，以此类推，排在第 $n$ 位的数称为这个数列的第 $n$ 项。

2. 一般形式： $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n},a_{n+1}...$ 。记作： $\left \{ a_{n} \right \}$ ，其中 $a_{n}$ 称为该数列的通项， $n$ 为正整数。

备注：

①：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

②：用符号 $\left \{ a_{n} \right \}$ 表示数列，只不过是“借用”集合的符号而已。数列与集合的区别如下：

集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。

集合中的元素是无序的，而数列中的项必须是有序的。

③：数列的通项不一定存在。

3. 等差数列与等比数列：

（1）等差数列：①：通项公式： $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ 。 ②：求和公式： $S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$ 。

（2）等比数列：①：通项公式： $a_{n}=a_{1}q^{n-1}$ 。 ②：求和公式： $S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq 1)$ 。

2. 数列的极限基本概念

1. 数列的极限定义：已知数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ ，存在常数 $a$ ，对于任意的 $\varepsilon>0$ (很小的一个数)，若存在正整数 $N$ (指数列的第 $N$ 项)，

当 $n>N$ 时(指第 $N$ 项后边的所有项)，有 $|x_{n}- a| < \varepsilon$ ，即 $(a-\varepsilon< x_{n} < a+\varepsilon )$ (指 $x_{n}$ 的落在小区间内)，

那么①：称数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 收敛于 $a$ 。②：称 $a$ 为数列

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