高等数学学习笔记 ☞ 函数

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#函数 #三要素 #性质

于 2024-12-25 20:55:12 首次发布

1. 函数的定义

定义在非空数集之间的映射称为函数。记作： $y=f(x)$ ，其中 $x$ 称为自变量， $y$ 称为因变量。

备注：

①：函数 $y=f(x)$ 明确定义：允许一对一，多对一，但不允许一对多。

②：判断一个曲线是否为函数：竖线法则。

2. 函数的三要素

（1）定义域：记作 $D_{f}$ ，即自变量 $x$ 的集合。

（2）值域：记作 $R_{f}$ ，即因变量 $y$ 的集合，其中 $R_{f}= \left \{ f(x)|x \in D_{f} \right \}$ 。

（3）法则：记作 $f(x)$ ，即 $y=f(x)$ 。

备注：函数 $y=f(x)$ 的值域为 $R_{f}$ ，不是Y，其中： $R_{f}\subset Y$ 。

3. 函数的分类

（1）满射函数：函数 $y=f(x)$ 的值域 $R_{f}$ 恰好为Y。

（2）单射函数：在定义域 $D_{f}$ 中任取元素 $x_{1},x_{2}$ ，在值域 $R_{f}$ 中都有 $f(x_{1})\neq f(x_{2})$ 。

（3）双射函数：同时满足满射函数和单射函数的函数。

（4）反函数：已知函数 $y=f(x)$ 为单射函数，若对于值域 $R_{f}$ 中的任意元素 $y$ ，在定义域 $D_{f}$ 中都有唯一的元素

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