高等数学笔记-苏德矿-第十章-曲线积分和曲面积分-第六节-第二类曲面积分

高等数学笔记-苏德矿

第十章 曲线积分和曲面积分

一、第二类曲面积分的概念

01 解决问题前的基本概念

(1) 流量的概念

平面的面积为 $S$，$\pi$ 的法向量为 $\vec{n}$ 与指定的方向一致。

流体的流速 $\vec{v}$ (常向量)，且 $\vec{v}\parallel \vec{n}$ 方向一致，流体的密度为 ${\mu }_0$ (常数) 。

称流体单位时间通过平面指定侧流体的质量为流量，记作 $Q$ ，$Q=S|\vec{v}|{\mu }_0$ 。

(2) 有夹角的流量

不同的地方 $\vec{v}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为 $\theta$，$0⩽\theta ⩽\pi$，，$Q=(\vec{v}\cdot \overrightarrow{n^0})S{\mu }_0$

02 由问题引入积分的定义

(1) 曲面的基本条件

设 $\Sigma$ 为有界光滑曲面，$\forall M(x,y,z)\in \Sigma$，在 $M$ 点的单位法向量 n0⃗(x,y,z)={cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ}\vec{n^0}(x,y,z)=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}n0(x,y,z)={cosα,cosβ,cosγ}，

且与 $\Sigma$ 指定的方向一致。

(2) 问题描述

有一个流体通过曲面 $\Sigma$ ，通过 $\Sigma$ 上点 $M(x,y,z)$ 处的流速为 $\vec{v}$ ，

v⃗={vx(x,y,z),vy(x,y,z),vz(x,y,z)}\vec{v}=\{v_x(x,y,z),v_y(x,y,z),v_z(x,y,z)\}v={vx​(x,y,z),vy​(x,y,z),vz​(x,y,z)} ( $v_x,v_y,v_z$ 连续)，

密度为 $\mu (x,y,z)$ 连续，求流体通过曲面 $\Sigma$ 指定侧的流量 $Q$ 。

(3) 问题分析

总流量 $Q$ 具有总量等于部分量之和的特点，可以用微元法。

① 取面积微元

由 $Q$ 分布在曲面 $\Sigma$ 上，$\forall dS\subset \Sigma$，$dS$ 的大小仍记为 $dS$，$\forall M(x,y,z)\in dS$ 。

② 近似处理

把 $dS$ 看成在 $M(x,y,z)$ 点的切平面上，面积仍记为 $dS$，n0⃗(x,y,z)={cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ}\vec{n^0}(x,y,z)=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}n0(x,y,z)={cosα,cosβ,cosγ}，

与 $\Sigma$ 指定的方向一致。通过 $dS$ 的流速看成在 $M(x,y,z)$ 点的流速 v⃗={vx,vy,vz}\vec{v}=\{v_x,v_y,v_z\}v={vx​,vy​,vz​}，点的密度 $\mu (x,y,z)$ 。

③ 求流量微元

求通过 $dS$ 的流量 $\Delta Q$ 的等价量 $dQ$ 。

$(\Delta Q\approx )dQ=(\vec{v}\cdot \overrightarrow{n^0})dS\mu =\mu (\vec{v}\cdot \overrightarrow{n^0})dS,(x,y,z)\in \Sigma$ ，则 $Q=\underset{\Sigma }{\iint }\mu (\vec{v}\cdot \overrightarrow{n^0})dS=\underset{\Sigma }{\iint }(\mu \vec{v}\cdot \overrightarrow{n^0})dS$ ，

μv⃗=A⃗(x,y,z)={μvx,μvy,μvz}=∬Σ(A⃗⋅n0⃗)dS\mu\vec{v}=\vec{A}(x,y,z)=\{\mu v_x,\mu v_y,\mu v_z\}=\iint\limits_{\Sigma}(\vec{A}\cdot\vec{n^0})dSμv=A(x,y,z)={μvx​,μvy​,μvz​}=Σ∬​(A⋅n0)dS，称 $\vec{A}(x,y,z)$ 沿曲面 $\Sigma$ 指定侧的第二类曲面积分。

03 给出第二类曲面积分的定义

设 $\Sigma$ 是有界分片光滑曲面，A⃗(x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}\vec{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}A(x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}，

定义在 $\Sigma$ 上的向量且有界 ( $P,Q,R$ 有界)，$(x,y,z)\in \Sigma$ 处的单位法向量，

n0⃗(x,y,z)={cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ}\vec{n^0}(x,y,z)=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}n0(x,y,z)={cosα,cosβ,cosγ} 与指定的侧一致，若 $\underset{\Sigma }{\iint }(\vec{A}\cdot \overrightarrow{n^0})dS$ 存在，

该积分值称为 $\vec{A}$ 沿曲面 $\Sigma$ 指定侧的第二类曲面积分或向量值曲面积分。

二、第二类曲面积分的定理和性质

01 第二类曲面积分的物理意义

一个光滑曲面 $\Sigma$ 在 $M(x,y,z)$ 处的单位法向量 n0⃗(x,y,z)={cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ}\vec{n^0}(x,y,z)=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}n0(x,y,z)={cosα,cosβ,cosγ} 且与指定的方向一致，

有一个流体通过曲面 $\Sigma$ 上点 $M(x,y,z)$ 处流速为 v⃗={vx,vy,vz}\vec{v}=\{v_x,v_y,v_z\}v={vx​,vy​,vz​}，点的密度 $\mu (x,y,z)$，

则流体通过 $\Sigma$ 指定侧的流量 $Q=\underset{\Sigma }{\iint }(\mu \vec{v})\cdot \overrightarrow{n^0}dS$，求流体的体积 $V$，$V=\underset{\Sigma }{\iint }(\vec{v}\cdot \overrightarrow{n^0})dS$ 。

若密度是均质的且为 ${\mu }_0$，则 $Q=V{\mu }_0$ 。

02 第二类曲面积分的性质

在第二类曲面积分 $\underset{\Sigma }{\iint }(\vec{A}\cdot \overrightarrow{n^0})dS$ 中，如果把 $\vec{A}\cdot \overrightarrow{n^0}$ 看成一个数量函数，这个积分就是第一类曲面积分，具有点函数的所有性质。

如果看成 $\vec{A}$ 沿曲面 $\Sigma$ 指定侧的第二类曲面积分，有下面两个特有的性质：

性质1：$\underset{{\Sigma }^{+}}{\iint }(\vec{A}\cdot \overrightarrow{n^0})dS=-\underset{{\Sigma }^{-}}{\iint }(\vec{A}\cdot \overrightarrow{n^0})dS$

性质2：$\underset{\Sigma }{\iint }(\vec{A}\cdot \overrightarrow{n^0})dS=\underset{{\Sigma }_1}{\iint }(\vec{A}\cdot \overrightarrow{n^0})dS+\underset{{\Sigma }_2}{\iint }(\vec{A}\cdot \overrightarrow{n^0})dS$，

​ $\Sigma ={\Sigma }_1\cup {\Sigma }_2$，可以有公共边界，不能有公共内部，且 ${\Sigma }_1,{\Sigma }_2$ 的方向一致。

三、第二类曲面积分的形式

(1) 条件的分析

n0⃗⋅dS=△dS⃗={cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ}dS={cos⁡α⋅dS,cos⁡β⋅dS,cos⁡γ⋅dS}\vec{n_0}\cdot dS\stackrel{\triangle}{=}d\vec{S}=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}dS=\{\cos\alpha\cdot dS,\cos\beta\cdot dS,\cos\gamma\cdot dS\}n0​​⋅dS=△dS={cosα,cosβ,cosγ}dS={cosα⋅dS,cosβ⋅dS,cosγ⋅dS} 。

$|\cos \gamma |dS=d\sigma$（ $d\sigma$ 是 $dS$ 在 $xOy$ 平面上投影区域面积 ），同理，

$|\cos \alpha |dS=d\sigma$（ $d\sigma$ 是 $dS$ 在 $yOz$ 平面上投影区域面积 ），

$|\cos \beta |dS=d\sigma$（ $d\sigma$ 是 $dS$ 在 $zOx$ 平面上投影区域面积 ）。

(2) 由书写简便性引入记号

$\cos \gamma \cdot dS\stackrel{△}{=}dxdy,\cos \alpha \cdot dS\stackrel{△}{=}dydz,\cos \beta \cdot dS\stackrel{△}{=}dzdx$ 。

那么，n0⃗⋅dS=dS⃗={dydz,dzdx,dxdy}\vec{n_0}\cdot dS=d\vec{S}=\{dydz,dzdx,dxdy\}n0​​⋅dS=dS={dydz,dzdx,dxdy} 。
$$\begin{array}{rl}①& \underset{\Sigma }{\int }(\vec{A}\cdot \overrightarrow{n^0})dS\\ ②& =\underset{\Sigma }{\int }\vec{A}\cdot d\vec{S}\\ ③& =\underset{\Sigma }{\int }(P(x,y,z)\cos \alpha +Q(x,y,z)\cos \beta +R(x,y,z)\cos \gamma )dS\\ & =\underset{\Sigma }{\int }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS\\ ④& =\underset{\Sigma }{\int }[P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy]\\ & =\underset{\Sigma }{\int }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy(用得较多)\\ ⑤& =\underset{\Sigma }{\int }P(x,y,z)dydz+\underset{\Sigma }{\int }Q(x,y,z)dzdx+\underset{\Sigma }{\int }R(x,y,z)dxdy\\ & (其实是由第③类一曲面积分性质得到的，二曲面积分不能直接用和的积分等于积分的和)\end{array}$$
第二类曲面积分如果要直接计算，一般化成第⑤种。