高等数学笔记-苏德矿-第十章-曲线积分和曲面积分-第七节-高斯公式与斯托克斯公式

最新推荐文章于 2023-12-01 23:12:33 发布

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#高等数学 #微积分 #高斯公式 #斯托克斯公式

这篇笔记详细介绍了高等数学中的曲线积分和曲面积分，涵盖了高斯公式和斯托克斯公式的基本概念、散度和旋度的意义，以及第二类曲面积分的计算方法。高斯公式将曲面积分转化为三重积分，揭示了散度与流体源、汇的关系。斯托克斯公式则连接了曲线积分和曲面积分，说明了旋度与边界曲线积分的关系。此外，还讨论了空间曲线积分的类型和与路径无关的条件。

高等数学笔记-苏德矿

第十章曲线积分和曲面积分

第七节高斯公式与斯托克斯公式

一、基本概念

01 右手法则

伸出右手，使四指与边界曲线 $L$ 的方向一致，如果此时

大拇指的方向恰好与曲面 $Σ\Sigma$ 的法方向一致，称它们是符合右手法则的。

在这里插入图片描述

02 线单连通区域

设 $Ω⊂R3\Omega\subset R^3$ 是一个空间立体，对于 $Ω\Omega$ 中任意封闭曲线 $L$ ，不越过立体 $Ω\Omega$ 的边界曲面连续，

收缩为 $Ω\Omega$ 中的一点，称 $Ω\Omega$ 为线单连通区域。

03 面单连通区域

设 $Ω⊂R3\Omega\subset R^3$ 是一个空间立体，对于 $Ω\Omega$ 中任意封闭曲面 $Σ\Sigma$ ，不越过立体 $Ω\Omega$ 的边界曲面连续，

收缩为 $Ω\Omega$ 中的一点，称 $Ω\Omega$ 为面单连通区域。

比如厚球壳形状的立体是线单连通区域，不是面单连通区域。

二、高斯公式

设有界闭区域立体 $Ω⊂R3\Omega\subset R^3$ 的边界曲面是分片光滑曲线 $Σ\Sigma$ 指向外侧，若 $RP\ , \ Q\ , \ R$ 在 $Ω\Omega$ ( 包括 $Σ\Sigma$ ) 上连续且具有连续的一阶偏导数，则
$\oiint\limits_{\Sigma_{外}}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint\limits_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$
$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}\vec{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}$ ， $dydz,dzdx,dxdy}d\vec{S}=\{dydz,dzdx,dxdy\}$ 。

高斯公式可以写成： $∯Σ外A⃗⋅dS⃗=∭ΩdivA⃗dV\displaystyle{ \oiint\limits_{\Sigma_{外}}\vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint\limits_{\Omega}\mathrm{div}\vec{A}dV }%$ 。

三、散度与旋度

01 散度

(1) 散度的概念

记 $∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z=divA⃗\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\mathrm{div}\vec{A} }%$ ，称 $A⃗(x,y,z)\vec{A}(x,y,z)$ 在点 $(x, y, z)$ 处的散度。
$\mathrm{div}\vec{A}(x_0,y_0,z_0)=\frac{\partial P}{\partial x}\Big|_{(x_0,y_0,z_0)}+\frac{\partial Q}{\partial y}\Big|_{(x_0,y_0,z_0)}+\frac{\partial R}{\partial z}\Big|_{(x_0,y_0,z_0)} =\mathrm{div}\vec{A}\Big|_{(x_0,y_0,z_0)}$

(2) 散度的意义

$M0(x0,y0,z0)∈Ω\forall\ M_0(x_0,y_0,z_0)\in\Omega$ ，取一个小立体 $V$ ，使 $M0∈V⊂ΩM_0\in V\subset\Omega$ ， $V$ 的边界曲面为分片光滑曲面 $Σ1\Sigma_1$ ，

$M∗∈V\displaystyle{ \oiint\limits_{\Sigma_{外}}\vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint\limits_{\Omega}\mathrm{div}\vec{A}dV=\mathrm{div}\vec{A}|_{M^*}\cdot V\ ,\ M^*\in V }%$ ，等式变形得： $divA⃗∣M∗=∯Σ1外A⃗⋅dS⃗V\displaystyle{ \mathrm{div}\vec{A}|_{M^*}=\frac{\oiint\limits_{\Sigma_{1外}}\vec{A}\cdot d\vec{S}}{V} }%$