曲面积分小结

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写在开头

两类曲面积分的联系和区别

类似曲线积分，同样是先有第一类曲面积分（数学理论），后有的第二类曲面积分（物理意义）。

我们赋予第二类曲面积分的物理意义是：从曲面正侧流出的流量。

和第二类曲线积分不同的是，曲线有方向向量，所以定义为力在曲线方向做功；可曲面没有方向向量，只有法向量，因此我们定义流速在法向量方向上的流量。其实二者本质是比较相似的：

曲线积分：W（功）=F（力）*S（路径）

曲面积分：Q（流量）=V（流速）*A（面积）

因此在流量情景下，第一类曲面积分是计算在曲面A的法向量上的流量，而第二类曲面是将A的法向量和流速分别分解到x,y,z轴上，然后分别求流量再合并。二者之间完整转化如下，其中的红框部分就是我们最常用的转化公式。

而其中的法向量n0（cos，cos，cos）有以下两种形式：

高斯公式

证明

相关证明在另一篇格林公式，高斯公式，斯托克斯公式简易理解和串联-优快云博客

记忆

这里有一个记忆使用高斯公式三个限制条件的小tip：闭关锁国

闭：必须是封闭曲面

关：关卡是政府机构（正向），为了抵御外敌（外侧）

国：一个国家的历史连续不断（具有一阶连续偏导数）

通用化简法

在高斯公式不可用的情况下，我们需要将曲面积分化为二重积分。与曲线积分化一重积分不同的是，化简曲面积分需要另外注意正负号的选取。

但是这一点和曲线积分真的不一样吗？为什么只有曲面积分的化简需要另外判断符号，而曲线积分不需要呢？

事实是，加正负号只是表面，二者都要额外判断正负，只是曲线积分由于形式的特殊性可以省略这一步。

让我们先给出一个结论：曲线/曲面积分的通用化简，一共分三步：

而第一步投影正是正负号的来源。

第二类曲线/曲面积分都是有方向的。因此在投影的时候，它们与重积分不同就体现出来了——不能直接投影。

例如，图中的曲线积分，如果曲线方向是从a到b的，那投影的结果就是；而如果是由b到a的，则结果为（-）。

发现了吗？因为一重积分的正负是可以由积分的上下限体现，所以曲线积分的添加正负号规则就转化为——积分的上下限要和线段的始末点保持一致。曲线积分的正向就是x/y轴正向，而积分区域恰好就是x/y轴，所以它的方向可以转为积分上下限的顺序。

所以说曲线积分其实投影也是要考虑正负号的，但是这一步直接简化为——积分上下限和起止点一致，不用再额外加正负号。

那曲面积分不能像简化吗？确实不能。落在某一坐标轴上的投影，方向可以由公式积分上下限表示，那是因为一重积分上下限都在公式里表现出来了；但是落在一个坐标面上的投影，二重积分没有上下限去表现这个正负，因为它的方向是法向量，在z轴上！所以只能通过手动添加正负号来体现。

以投影在Dxy面上为例，曲面积分的正向就是z轴正向，而积分区域是xy面，所以想要体现它的方向无法通过调整公式办到，因为不是一个层面，相互没有关系！只能通过额外添加正负号。

那么，该如何来判断应该添加正号还是负号？

这里推荐一个答主的方法，非常形象重积分 | 第二类曲面积分投影法正负判断_第二类曲面积分内侧外侧正负-优快云博客

除此之外，在第一步投影时，也可以进一步细分为两个办法：分面投影和合并投影。二者没有本质区别。

一般建议在题给条件针对某个特定面有对称性时，可以使用分面投影法将其消去，以简化运算。

面向做题的曲面积分小结