高等数学笔记-苏德矿-第九章-重积分(Ⅰ)-二重积分

高等数学笔记-苏德矿

第九章-重积分(Ⅰ)-二重积分

第一节 二重积分的概念和性质

一、二重积分的典例

01 平面薄板的质量

平面薄片一点的面密度的定义：

设有一个平面薄片位于 $xOy$ 平面上的有界闭区域 $\sigma xy$，设 $P_0(x_0,y_0)\in \sigma xy$，

$P_0\in \Delta \sigma \in \sigma xy$，$\Delta \sigma$ 的面积仍用 $\Delta \sigma$ 表示，称 $\frac{\Delta M}{\Delta \sigma }$ 为 $\Delta \sigma$ 的平均面密度。

若 $\underset{\Delta \sigma \to P_0}{\lim }\frac{\Delta M}{\Delta \sigma }$ 极限存在，该极限称为在 $P_0$ 点的面密度。

如果 $\sigma xy$ 面密度处处相等，称该薄片是密度均质的薄片；否则称薄片密度为非均质的。

设一个平面薄板位于 $xOy$ 平面区域的有界闭区域 $D$，其面密度为 $\mu =\mu (x,y)$ 如何求薄片的质量？

类似一元的处理方法，采用：

(1) 分割

用若干条曲线将 $D$ 任意划分成 $n$ 个小区域 $\Delta D_1,\Delta D_2,\cdots ,\Delta D_n,\Delta D_i$ 的面积记为 $\Delta {\sigma }_i,(i=1,2,\cdots ,n)$

(2) 作和

在小区域分得很小时，近似认为质量均匀，任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\in \Delta D_i$，薄板的质量近似地表达为
$$m=\sum _{i=1}^n\Delta m_i\approx \sum _{i=1}^n\mu \left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$$
(3) 取极限

记 λ=max⁡1≤1≤n{di}\lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\}λ=1≤1≤nmax​{di​}，( $d_i$ 是小区域 $\Delta D_i$ 的直径 ) 那么若下列极限存在，就给出了薄板的质量。
$$m=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\mu \left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$$

02 曲顶柱体的体积

柱体的侧面是母线垂直 $xy$ 平面的柱面，顶面为曲面 $S:z=f(x,y)$，

底面是 $xy$ 平面上区域 $D$，如何求此曲顶柱体的体积？

(1) 分割

用若干条曲线将区域 $D$ 分成小区域 $\Delta D_1,\Delta D_2,\cdots ,\Delta D_n$，而 $\Delta D_i$ 的面积记为 $\Delta {\sigma }_i$，

相应地把柱体分成 $n$ 个小的曲顶柱体 $\Delta V_1,\Delta V_2,\cdots ,\Delta V_n$，而 $\Delta V_i$ 的体积仍记为 $\Delta V_i$ .

(2) 求和

区域分得很小时，用柱体来近似小曲顶柱体的体积，任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\in \Delta D_i$，则总体积近似为： $\sum _{i=1}^n\Delta V_i=\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$

(3) 取极限

记 λ=max⁡1≤1≤n{di}\lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\}λ=1≤1≤nmax​{di​}，( $d_i$ 是小区域 $\Delta D_i$ 的直径 ) ，则体积 $V$ 由如下极限给出： $V=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$

从以上例子抽象出来就得到二重积分的概念，这类问题要计算在一个平面区域上分布率不均匀的量的总量。

积分四部曲：分匀和精（分割、看作均匀、求近似值、极限取到精确）。

二、二重积分的概念

01 定义

设 $D$ 是 $xOy$ 平面的有界闭区域，函数 $z=f(x,y)$ 在 $D$ 定义，$I$ 为实数，

若用若干条曲线将 $D$ 任意划分成个小区域 $\Delta D_1,\Delta D_2,\cdots ,\Delta D_n$，

任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\in \Delta D_i(i=1,2,\cdots ,n)$，$\Delta {\sigma }_i$ 表示 $\Delta D_i$ 的面积，

$f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$ 称为积分元，对积分元作和得到如下积分和式： $\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$

记 λ=max⁡1≤i≤n{di}\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n}\left\{d_{i}\right\}λ=1≤i≤nmax​{di​}，$d_i$ 是小区域 $\Delta D_i$ 的直径，若总有： $\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i=I$

则称函数 $z=f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，$I$ 称为$z=f(x,y)$ 在 $D$ 的二重积分，记为 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$ .

其中，$\iint -$ 二重积分号，$D-$ 积分区域，$f(x,y)-$被积函数，

$x,y-$积分变量，$f(x,y)d\sigma -$被积表达式，$d\sigma -$面积元素 (面积微元) 。

若函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积，则 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i=I$。

关于定义中“总有”的含义：

对于所有小区域所取点的函数值，作和取极限都得到唯一存在且确定的数 $I$，

且极限 $I$ 的取值与区域分割方法和区域内点 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)$ 的取法均无关。

02 几何意义

若 $\underset{D}{\iint }f(x)d\sigma$ 存在且 $f(x,y)⩾0$，则以区域 $D$ 为底，以曲面 $S:z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。

03 物理意义

若 $\underset{D}{\iint }f(x)d\sigma$ 存在且 $f(x,y)⩾0$，则二重积分表示面密度为 $\mu =\mu (x,y)$ 的平面薄片的质量

04 可积的充分条件

• 若函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上连续有界，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 可积。

• 若函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上有界，只在有限条曲线上不连续，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 可积。

• 若函数 $f(x,y)$ 在有界区域 $D$ 上分片连续有界，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 可积。

  • 分片连续有界：分片借鉴一元函数分段的概念，在每个区域内均连续有界。

三、二重积分的性质

设以下性质中出现的积分均存在

• 性质1 (线性运算法则) ：若 $\alpha ,\beta$ 是常数，
  $$\underset{D}{\iint }(\alpha f(x,y)+\beta g(x,y))d\sigma =\alpha \underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma +\beta \underset{D}{\iint }g(x,y)d\sigma$$

• 性质2 (区域的可加性) ：若积分区域 $D$ 分成 $D_1,D_2$ 两个子区域（ $D_1,D_2$ 不可以有公共区域），
  $$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{D_1}{\iint }f(x,y)d\sigma +\underset{D_2}{\iint }f(x,y)d\sigma$$

• 性质3（求平面区域的面积）：
  $$\underset{D}{\iint }1d\sigma =A_D(D的面积)$$

• 性质4 (单调性/保序性) ：若 $f(x,y)\le g(x,y)$，则
  $$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ⩽\underset{D}{\iint }g(x,y)d\sigma$$
  性质4的推论：
  $$\begin{array}{rl}& (1)若f(x,y)⩾0,且f(x,y)\not\equiv 0,则\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma >0\\ & (2)\left|\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \right|\le \underset{D}{\iint }|f(x,y)|d\sigma (三角不等式的推广)\\ & (3)若m⩽f(x,y)⩽M,则m{A}_D⩽\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ⩽M{A}_D(估值定理)\end{array}$$

• 性质5 (二重积分中值定理) ：若 $D$ 是有界闭区域，$f(x,y)\in C(D)$，则存在 $(\xi ,\eta )\in D$，
  $$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )A_D$$
  对应一元函数定积分中的平均值定理（积分第一中值定理）

第二节 二重积分的计算

一、直角坐标系下的计算

01 直角坐标下积分区域的划分

(1) $x$ 型正则区域

① 什么是 $x$ 型区域

设 $D$ 为有界闭区域，若对垂直于 $x$ 轴的任何一条直线 ( $x=常数$ )，与 $D$ 的边界有无穷个交点（此时 $D$ 的边界垂直于 $x$ 轴）

或者至多有两个交点，那么称 $D$ 为 $x$ 型正则区域。

② $x$ 型区域示意图

③ $x$ 型区域下的积分转化

设区域 D={(x,y)∣φ1(x)⩽y⩽φ2(x)  , a⩽x⩽b}D=\left\{(x, y) \mid \varphi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \varphi_{2}(x)\ \ ,\ a \leqslant x \leqslant b \right\}D={(x,y)∣φ1​(x)⩽y⩽φ2​(x)  , a⩽x⩽b}，$f(x,y)⩾0,(x,y)\in D$，则 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$ 表示底面在 $xOy$ 平面的区域 $D$，底部曲面方程 $z=f(x,y)$，侧面是以 $D$ 的边界为准线，曲线平行于 $z$ 轴的柱面围成的立体的体积 $V$。

( 二重积分 $\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy$ $(d\sigma =dxdy)$ 的值等于以 $D$ 为底，以曲面 $S$ : $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。)
$$\begin{array}{rl}& 利用定积分来求体积考虑垂直x轴过x处的平面截曲顶柱体所得截面积A(x)\\ & 截面曲边梯形的面积A(x):A(x)={\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\\ & 可得曲顶柱体的体积:V={\int }_a^{b}A(x)dx={\int }_a^b\left({\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\right)dx\\ & 导出:\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy={\int }_a^b\left({\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\right)dx\\ & 写成(称为二次积分或累次积分):\\ & \underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\end{array}$$

(2) $y$ 型正则区域

① 什么是 $y$ 型区域

设 $D$ 为有界闭区域，若对垂直于 $y$ 轴的任何一条直线 ( $y=常数$ )，与 $D$ 的边界有无穷个交点（此时 $D$ 的边界垂直于 $y$ 轴）

或者至多有两个交点，那么称 $D$ 为 $y$ 型正则区域。

② $y$ 型区域示意图

③ $y$ 型区域下的积分转化
若积分区域 D={(x,y)∣ψ1(x)⩽y⩽ψ2(x)  , c⩽y⩽d}则有∬Df(x,y)dxdy=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx \begin{aligned} & 若积分区域\ D=\left\{(x, y) \mid \psi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \psi_{2}(x)\ \ ,\ c \leqslant y \leqslant d \right\}\\ & 则有\iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{c}^{d} d y \int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} f(x, y) d x \end{aligned} ​若积分区域 D={(x,y)∣ψ1​(x)⩽y⩽ψ2​(x)  , c⩽y⩽d}则有D∬​f(x,y)dxdy=∫cd​dy∫ψ1​(y)ψ2​(y)​f(x,y)dx​

02 二重积分计算的步骤

• 画出积分区域 $D$
  • 如果 $D$ 的边界为两条曲线，先求出交点，画经过交点的边界曲线
  • 如果 $D$ 的边界超过两条曲线，在画边界曲线的过程中，求出交点，画出积分区域 $D$
• 若 $D$ 为 $x$ 型正则区域，则二重积分化为先积 $y$，后积 $x$
• 若 $D$ 为 $y$ 型正则区域，则二重积分化为先积 $x$，后积 $y$
• 若 $D$ 不是 $x$ 或 $y$ 型正则区域，则分割处理区域后二重积分化为上述两种累次积分

二、二重积分的变量代换

设变换 $\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array}$ 有连续偏导数，且满足
$$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{ll}{x}_u& y_u\\ x_v& y_v\end{array}\right|\ne 0(二阶雅可比行列式)$$
而 $f(x,y)\in C(D)$，那么
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{D^{\prime }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$$
$uv$ 平面小矩形 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }⟶xy$ 平面曲边四边形 $ABCD$
$$\begin{array}{rl}& A^{\prime }(u,v)⟶A(x(u,v),y(u,v))\\ & B^{\prime }(u+\Delta u,v)⟶B(x(u+\Delta u,v),y(u+\Delta u,v))\\ & C^{\prime }(u+\Delta u,v+\Delta v)⟶C(x(u+\Delta u,v+\Delta v),y(u+\Delta u,v+\Delta v))\\ & D^{\prime }(u,v+\Delta v)⟶D(x(u,v+\Delta v),y(u,v+\Delta v))\end{array}$$

$ABCD$ 近似平行四边形，只需求出一组邻边的向量表示：

三、极坐标系下的计算公式

01 极坐标系下的二重积分

若 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$ 存在，当 $f(x,y)$ 中含有 $x^2+y^2$ 或积分区域 $D$ 是圆域或圆周与直线围成的区域，

令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，则 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{D_{r\theta }}{\iint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rd\theta dr$ .

02 极坐标下积分区域的划分

极坐标下的 $\theta$ 型区域

设 $D$ 为有界闭区域，从极点 $O$ 出发的任何一条射线与 $D$ 的边界有无穷个交点（此时 $D$ 的边界是射线的一段）

或者至多有两个交点，那么称 $D$ 为 $\theta -$ 型区域，且设区域 D={(r,θ)∣r1(θ)⩽r⩽r2(θ)  , α⩽θ⩽β}D=\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\theta)\ \ ,\ \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \right\}D={(r,θ)∣r1​(θ)⩽r⩽r2​(θ)  , α⩽θ⩽β}

接下来对于不同类型的 $\theta -$ 型区域进行讨论，设有界闭区域 $D$ 为 $\theta$ 型区域，

• 极点 $O$ 在 $D$ 的外部
  • 作射线从 $x$ 轴开始旋转，确定 $\theta$ 的范围 $[\alpha ,\beta ]$ .
  • D={(r,θ)∣r1(θ)⩽r⩽r2(θ)  , α⩽θ⩽β}D=\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\theta)\ \ ,\ \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \right\}D={(r,θ)∣r1​(θ)⩽r⩽r2​(θ)  , α⩽θ⩽β} .
• 极点 $O$ 在 $D$ 的边界
  • 求出边界曲线 $r=r(\theta )$ 的定义域
  • 不仅使 $r(\theta )$ 有意义，且 $r(\theta )⩾0$ 的 $\theta$ 范围 $[\alpha ,\beta ]$ .
  • D={(r,θ)∣0⩽r⩽r(θ)  , α⩽θ⩽β}D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant r(\theta)\ \ ,\ \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \right\}D={(r,θ)∣0⩽r⩽r(θ)  , α⩽θ⩽β} .
• 极点 $O$ 在 $D$ 的内部
  • D={(r,θ)∣0⩽r⩽r(θ)  , 0⩽θ⩽2π}D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant r(\theta)\ \ ,\ 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi \right\}D={(r,θ)∣0⩽r⩽r(θ)  , 0⩽θ⩽2π} .

03 极坐标系下二重积分的推导

当积分区域的边界曲线或被积函数用极坐标表示较为简单时，二重积分有时可用极坐标来计算。
我们来考虑面积元素Δσ在极坐标下的形式。用r为常数所表示的圆周族和θ为常数所表示的射线族分割区域D，那么小区域面积Δσ=12[(r+Δr)2Δθ−r2Δθ]=12[2rΔr+(Δr)2]Δθ⟹dσ=rdrdθ从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的变换公式∬Df(x,y)dxdy=∬Df(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdrdθ若区域D={(r,θ)∣r1(θ)≤r≤r2(θ),α≤θ≤β}二重积分化为累次积分∬Df(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdrdθ=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdθ \begin{aligned} & 我们来考虑面积元素 \Delta \sigma 在极坐标下的形式。\\ & 用 r 为常数所表示的圆周族和 \theta 为常数所表示的射线族分割区域 D，那么小区域面积\\ & \Delta \sigma=\frac{1}{2}\left[(r+\Delta r)^{2} \Delta \theta-r^{2} \Delta \theta\right]=\frac{1}{2}\left[2 r \Delta r+(\Delta r)^{2}\right] \Delta \theta \\ & \Longrightarrow \quad d \sigma=r d r d \theta\\ & 从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的变换公式\\ & \quad\quad\quad\quad\iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\iint \limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta\\ & 若区域 D =\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leq r \leq r_{2}(\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta\right\} \\ & 二重积分化为累次积分\\ & \iint \limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta = \int_{\alpha}^{\beta} d \theta \int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d \theta \end{aligned} ​我们来考虑面积元素Δσ在极坐标下的形式。用r为常数所表示的圆周族和θ为常数所表示的射线族分割区域D，那么小区域面积Δσ=21​[(r+Δr)2Δθ−r2Δθ]=21​[2rΔr+(Δr)2]Δθ⟹dσ=rdrdθ从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的变换公式D∬​f(x,y)dxdy=D∬​f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ若区域D={(r,θ)∣r1​(θ)≤r≤r2​(θ),α≤θ≤β}二重积分化为累次积分D∬​f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫αβ​dθ∫r1​(θ)r2​(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdθ​

四、二重积分积分技巧

利用区域 $D$ 的对称性与被积函数 $f(x,y)$ 关于相应变量的奇偶性简化二重积分的计算。
$$\begin{array}{rl}& 若D关于x轴对称，则\\ & \underset{D}{\iint }f(x)d\sigma =\{\begin{array}{cc}0& f(x,-y)=-f(x,y)\\ 2\underset{D_1}{\iint }f(x)d\sigma & f(x,-y)=f(x,y)\end{array}\end{array}$$

对于一般区域的二重积分可将其分成若干个正则子区域，利用积分的可加性，分别在各子区域积分后求和。

当积分区域关于 $x$ 轴或 $y$ 轴对称时，注意被积函数是否有奇偶性，从而使积分简化。对称性非常重要！