高等数学笔记-苏德矿
第九章-重积分(Ⅰ)-二重积分
第一节 二重积分的概念和性质
一、二重积分的典例
01 平面薄板的质量
平面薄片一点的面密度的定义:
设有一个平面薄片位于 xOyxOyxOy 平面上的有界闭区域 σxy\sigma xyσxy,设 P0(x0,y0)∈σxyP_0(x_0,y_0)\in\sigma xyP0(x0,y0)∈σxy,
P0∈Δσ∈σxyP_0\in \Delta\sigma\in\sigma xyP0∈Δσ∈σxy,Δσ\Delta\sigmaΔσ 的面积仍用 Δσ\Delta\sigmaΔσ 表示,称 ΔMΔσ\frac{\Delta M}{\Delta \sigma}ΔσΔM 为 Δσ\Delta\sigmaΔσ 的平均面密度。
若 limΔσ→P0ΔMΔσ\lim \limits_{\Delta\sigma \rightarrow P_0} \frac{\Delta M}{\Delta \sigma}Δσ→P0limΔσΔM 极限存在,该极限称为在 P0P_0P0 点的面密度。
如果 σxy\sigma xyσxy 面密度处处相等,称该薄片是密度均质的薄片;否则称薄片密度为非均质的。
设一个平面薄板位于 xOyxOyxOy 平面区域的有界闭区域 DDD,其面密度为 μ=μ(x,y)μ=μ(x,y)μ=μ(x,y) 如何求薄片的质量?
类似一元的处理方法,采用:
(1) 分割
用若干条曲线将 DDD 任意划分成 nnn 个小区域 ΔD1,ΔD2,⋯ ,ΔDn,ΔDi\Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n}, \Delta D_{i}ΔD1,ΔD2,⋯,ΔDn,ΔDi 的面积记为 Δσi,(i=1,2,⋯ ,n)\Delta \sigma_{i},(i=1,2, \cdots, n)Δσi,(i=1,2,⋯,n)
(2) 作和
在小区域分得很小时,近似认为质量均匀,任取 (ξi,ηi)∈ΔDi\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \Delta D_{i}(ξi,ηi)∈ΔDi,薄板的质量近似地表达为
m=∑i=1nΔmi≈∑i=1nμ(ξi,ηi)Δσi
m=\sum_{i=1}^{n} \Delta m_{i} \approx \sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}
m=i=1∑nΔmi≈i=1∑nμ(ξi,ηi)Δσi
(3) 取极限
记 λ=max1≤1≤n{di}\lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\}λ=1≤1≤nmax{di},( did_{i}di 是小区域 ΔDi\Delta D_{i}ΔDi 的直径 ) 那么若下列极限存在,就给出了薄板的质量。
m=limλ→0∑i=1nμ(ξi,ηi)Δσi
m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}
m=λ→0limi=1∑nμ(ξi,ηi)Δσi
02 曲顶柱体的体积
柱体的侧面是母线垂直 xyx yxy 平面的柱面,顶面为曲面 S:z=f(x,y)S: z=f(x, y)S:z=f(x,y),
底面是 xyx yxy 平面上区域 DDD,如何求此曲顶柱体的体积?
(1) 分割
用若干条曲线将区域 DDD 分成小区域 ΔD1,ΔD2,⋯ ,ΔDn\Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n}ΔD1,ΔD2,⋯,ΔDn,而 ΔDi\Delta D_{i}ΔDi 的面积记为 Δσi\Delta \sigma_{i}Δσi,
相应地把柱体分成 nnn 个小的曲顶柱体 ΔV1,ΔV2,⋯ ,ΔVn\Delta V_{1}, \Delta V_{2}, \cdots, \Delta V_{n}ΔV1,ΔV2,⋯,ΔVn,而 ΔVi\Delta V_{i}ΔVi 的体积仍记为 ΔVi\Delta V_{i}ΔVi .
(2) 求和
区域分得很小时,用柱体来近似小曲顶柱体的体积,任取 (ξi,ηi)∈ΔDi\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \Delta D_{i}(ξi,ηi)∈ΔDi,则总体积近似为: ∑i=1nΔVi=∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \Delta V_i =\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} }%i=1∑nΔVi=i=1∑nf(ξi,ηi)Δσi
(3) 取极限
记 λ=max1≤1≤n{di}\lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\}λ=1≤1≤nmax{di},( did_{i}di 是小区域 ΔDi\Delta D_{i}ΔDi 的直径 ) ,则体积 VVV 由如下极限给出: V=limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\displaystyle{ V=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} }%V=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δσi
从以上例子抽象出来就得到二重积分的概念,这类问题要计算在一个平面区域上分布率不均匀的量的总量。
积分四部曲:分匀和精(分割、看作均匀、求近似值、极限取到精确)。
二、二重积分的概念
01 定义
设 DDD 是 xOyxOyxOy 平面的有界闭区域,函数 z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y) 在 DDD 定义,III 为实数,
若用若干条曲线将 DDD 任意划分成个小区域 ΔD1,ΔD2,⋯ ,ΔDn\Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n}ΔD1,ΔD2,⋯,ΔDn,
任取 (ξi,ηi)∈ΔDi (i=1,2,⋯ ,n)\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \Delta D_{i}\ (i=1,2, \cdots, n)(ξi,ηi)∈ΔDi (i=1,2,⋯,n),Δσi\Delta \sigma_{i}Δσi 表示 ΔDi\Delta D_{i}ΔDi 的面积,
f(ξi,ηi)Δσif\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}f(ξi,ηi)Δσi 称为积分元,对积分元作和得到如下积分和式: ∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} }%i=1∑nf(ξi,ηi)Δσi
记 λ=max1≤i≤n{di}\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n}\left\{d_{i}\right\}λ=1≤i≤nmax{di},did_{i}di 是小区域 ΔDi\Delta D_{i}ΔDi 的直径,若总有: limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi=I\displaystyle{ \lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}=I }%λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δσi=I
则称函数 z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y) 在有界闭区域 DDD 上可积,III 称为z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y) 在 DDD 的二重积分,记为 ∬Df(x,y)dσ\iint \limits_{D} f(x, y) d \sigmaD∬f(x,y)dσ .
其中,∬−\iint-∬− 二重积分号,D−D-D− 积分区域,f(x,y)−f(x, y)-f(x,y)−被积函数,
x , y−x \ , \ y-x , y−积分变量,f(x,y)dσ−f(x, y) d \sigma-f(x,y)dσ−被积表达式,dσ−d \sigma-dσ−面积元素 (面积微元) 。
若函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在 DDD 上可积,则 ∬Df(x,y)dσ=limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi=I\iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}=ID∬f(x,y)dσ=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δσi=I。
关于定义中“总有”的含义:
对于所有小区域所取点的函数值,作和取极限都得到唯一存在且确定的数 III,
且极限 III 的取值与区域分割方法和区域内点 (ξi,ηi)\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)(ξi,ηi) 的取法均无关。
02 几何意义
若 ∬Df(x)dσ\iint\limits_Df(x)d\sigmaD∬f(x)dσ 存在且 f(x,y)⩾0f(x,y)\geqslant0f(x,y)⩾0,则以区域 DDD 为底,以曲面 S:z=f(x,y)S: z=f(x, y)S:z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。
03 物理意义
若 ∬Df(x)dσ\iint\limits_Df(x)d\sigmaD∬f(x)dσ 存在且 f(x,y)⩾0f(x,y)\geqslant0f(x,y)⩾0,则二重积分表示面密度为 μ=μ(x,y)μ=μ(x,y)μ=μ(x,y) 的平面薄片的质量
04 可积的充分条件
-
若函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在区域 DDD 上连续有界,则 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在 DDD 可积。
-
若函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在区域 DDD 上有界,只在有限条曲线上不连续,则 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在 DDD 可积。
-
若函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在有界区域 DDD 上分片连续有界,则 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在 DDD 可积。
- 分片连续有界:分片借鉴一元函数分段的概念,在每个区域内均连续有界。
三、二重积分的性质
设以下性质中出现的积分均存在
-
性质1 (线性运算法则) :若 α,β\alpha, \betaα,β 是常数,
∬D(αf(x,y)+βg(x,y))dσ=α∬Df(x,y)dσ+β∬Dg(x,y)dσ \iint \limits_{D}(\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)) d \sigma=\alpha \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma+\beta \iint \limits_{D} g(x, y) d \sigma D∬(αf(x,y)+βg(x,y))dσ=αD∬f(x,y)dσ+βD∬g(x,y)dσ -
性质2 (区域的可加性) :若积分区域 DDD 分成 D1,D2D_{1}, D_{2}D1,D2 两个子区域( D1,D2D_{1}, D_{2}D1,D2 不可以有公共区域),
∬Df(x,y)dσ=∬D1f(x,y)dσ+∬D2f(x,y)dσ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=\iint \limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma+\iint \limits_{D_{2}} f(x, y) d \sigma D∬f(x,y)dσ=D1∬f(x,y)dσ+D2∬f(x,y)dσ -
性质3(求平面区域的面积):
∬D1dσ=AD(D 的面积) \iint \limits_{D} 1 d \sigma=A_{D} \quad(D\ 的面积) D∬1dσ=AD(D 的面积) -
性质4 (单调性/保序性) :若 f(x,y)≤g(x,y)f(x, y) \leq g(x, y)f(x,y)≤g(x,y),则
∬Df(x,y)dσ⩽∬Dg(x,y)dσ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma \leqslant \iint \limits_{D} g(x, y) d \sigma D∬f(x,y)dσ⩽D∬g(x,y)dσ
性质4的推论:
(1) 若f(x,y)⩾0 , 且 f(x,y)≢0 , 则∬Df(x,y)dσ>0(2) ∣∬Df(x,y)dσ∣≤∬D∣f(x,y)∣dσ (三角不等式的推广)(3) 若m⩽f(x,y)⩽M , 则 mAD⩽∬Df(x,y)dσ⩽MAD (估值定理) \begin{aligned} & (1)\ \ 若 f(x, y) \geqslant 0\ ,\ 且\ f(x, y)\not\equiv0 \ ,\ 则 \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma > 0\\ & (2)\ \ \left|\iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma\right| \leq \iint \limits_{D}|f(x, y)| d \sigma \ \ \ (三角不等式的推广) \\ & (3)\ \ 若 m \leqslant f(x, y) \leqslant M\ ,\ 则\ m A_{D} \leqslant \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma \leqslant M A_{D} \ \ \ (估值定理) \end{aligned} (1) 若f(x,y)⩾0 , 且 f(x,y)≡0 , 则D∬f(x,y)dσ>0(2) ∣∣∣∣∣∣D∬f(x,y)dσ∣∣∣∣∣∣≤D∬∣f(x,y)∣dσ (三角不等式的推广)(3) 若m⩽f(x,y)⩽M , 则 mAD⩽D∬f(x,y)dσ⩽MAD (估值定理) -
性质5 (二重积分中值定理) :若 DDD 是有界闭区域,f(x,y)∈C(D)f(x, y) \in C(D)f(x,y)∈C(D),则存在 (ξ,η)∈D(\xi, \eta) \in D(ξ,η)∈D,
∬Df(x,y)dσ=f(ξ,η)AD \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=f(\xi, \eta) A_{D} D∬f(x,y)dσ=f(ξ,η)AD
对应一元函数定积分中的平均值定理(积分第一中值定理)
第二节 二重积分的计算
一、直角坐标系下的计算
01 直角坐标下积分区域的划分
(1) xxx 型正则区域
① 什么是 xxx 型区域
设 DDD 为有界闭区域,若对垂直于 xxx 轴的任何一条直线 ( x=常数x=常数x=常数 ),与 DDD 的边界有无穷个交点(此时 DDD 的边界垂直于 xxx 轴)
或者至多有两个交点,那么称 DDD 为 xxx 型正则区域。
② xxx 型区域示意图
③ xxx 型区域下的积分转化
设区域 D={(x,y)∣φ1(x)⩽y⩽φ2(x) , a⩽x⩽b}D=\left\{(x, y) \mid \varphi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \varphi_{2}(x)\ \ ,\ a \leqslant x \leqslant b \right\}D={(x,y)∣φ1(x)⩽y⩽φ2(x) , a⩽x⩽b},f(x,y)⩾0 , (x,y)∈Df(x,y)\geqslant 0 \ , \ (x,y)\in Df(x,y)⩾0 , (x,y)∈D,则 ∬Df(x,y)dσ\iint \limits_{D} f(x, y) d\sigmaD∬f(x,y)dσ 表示底面在 xOyxOyxOy 平面的区域 DDD,底部曲面方程 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y),侧面是以 DDD 的边界为准线,曲线平行于 zzz 轴的柱面围成的立体的体积 VVV。
( 二重积分 ∬Df(x,y)dxdy\iint \limits_{D} f(x, y) d x d yD∬f(x,y)dxdy (dσ=dxdy)(d \sigma=d x d y)(dσ=dxdy) 的值等于以 DDD 为底,以曲面 SSS : z=f(x,y)z=f(x, y)z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。)
利用定积分来求体积考虑垂直x轴过x处的平面截曲顶柱体所得截面积A(x)截面曲边梯形的面积A(x) : A(x)=∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy可得曲顶柱体的体积 : V=∫abA(x)dx=∫ab(∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy)dx导出 : ∬Df(x,y)dxdy=∫ab(∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy)dx写成(称为二次积分或累次积分) : ∬Df(x,y)dxdy=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy
\begin{aligned}
& 利用定积分来求体积考虑垂直 x 轴过 x 处的平面截曲顶柱体所得截面积 A(x) \\
& 截面曲边梯形的面积 A(x) \ : \ A(x)=\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y\\
& 可得曲顶柱体的体积 \ : \ V=\int_{a}^{b} A(x) d x=\int_{a}^{b}\left(\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y\right) d x\\
& 导出 \ : \ \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{a}^{b}\left(\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y\right) d x\\
& 写成(称为二次积分或累次积分) \ : \ \\
& \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{a}^{b} d x \int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y
\end{aligned}
利用定积分来求体积考虑垂直x轴过x处的平面截曲顶柱体所得截面积A(x)截面曲边梯形的面积A(x) : A(x)=∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy可得曲顶柱体的体积 : V=∫abA(x)dx=∫ab(∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy)dx导出 : D∬f(x,y)dxdy=∫ab(∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy)dx写成(称为二次积分或累次积分) : D∬f(x,y)dxdy=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy
(2) yyy 型正则区域
① 什么是 yyy 型区域
设 DDD 为有界闭区域,若对垂直于 yyy 轴的任何一条直线 ( y=常数y=常数y=常数 ),与 DDD 的边界有无穷个交点(此时 DDD 的边界垂直于 yyy 轴)
或者至多有两个交点,那么称 DDD 为 yyy 型正则区域。
② yyy 型区域示意图
③ yyy 型区域下的积分转化
若积分区域 D={(x,y)∣ψ1(x)⩽y⩽ψ2(x) , c⩽y⩽d}则有∬Df(x,y)dxdy=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx
\begin{aligned}
& 若积分区域\ D=\left\{(x, y) \mid \psi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \psi_{2}(x)\ \ ,\ c \leqslant y \leqslant d \right\}\\
& 则有\iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{c}^{d} d y \int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} f(x, y) d x
\end{aligned}
若积分区域 D={(x,y)∣ψ1(x)⩽y⩽ψ2(x) , c⩽y⩽d}则有D∬f(x,y)dxdy=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx
02 二重积分计算的步骤
- 画出积分区域 DDD
- 如果 DDD 的边界为两条曲线,先求出交点,画经过交点的边界曲线
- 如果 DDD 的边界超过两条曲线,在画边界曲线的过程中,求出交点,画出积分区域 DDD
- 若 DDD 为 xxx 型正则区域,则二重积分化为先积 yyy,后积 xxx
- 若 DDD 为 yyy 型正则区域,则二重积分化为先积 xxx,后积 yyy
- 若 DDD 不是 xxx 或 yyy 型正则区域,则分割处理区域后二重积分化为上述两种累次积分
二、二重积分的变量代换
设变换 {x=x(u,v)y=y(u,v)\left\{\begin{array}{l}x=x(u, v) \\ y=y(u, v)\end{array}\right.{x=x(u,v)y=y(u,v) 有连续偏导数,且满足
J=∂(x,y)∂(u,v)=∣xuyuxvyv∣≠0 (二阶雅可比行列式)
J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}
x_{u} & y_{u} \\
x_{v} & y_{v}
\end{array}\right| \neq 0\ \ (二阶雅可比行列式)
J=∂(u,v)∂(x,y)=∣∣∣∣xuxvyuyv∣∣∣∣=0 (二阶雅可比行列式)
而 f(x,y)∈C(D)f(x, y) \in C(D)f(x,y)∈C(D),那么
∬Df(x,y)dxdy=∬D′f(x(u,v),y(u,v))∣J∣dudv
\iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\iint \limits_{D^{\prime}} f(x(u, v), y(u, v))|J| d u d v
D∬f(x,y)dxdy=D′∬f(x(u,v),y(u,v))∣J∣dudv
uvu vuv 平面小矩形 A′B′C′D′⟶xyA^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \longrightarrow x yA′B′C′D′⟶xy 平面曲边四边形 ABCDA B C DABCD
A′(u,v)⟶A(x(u,v),y(u,v))B′(u+Δu,v)⟶B(x(u+Δu,v),y(u+Δu,v))C′(u+Δu,v+Δv)⟶C(x(u+Δu,v+Δv),y(u+Δu,v+Δv))D′(u,v+Δv)⟶D(x(u,v+Δv),y(u,v+Δv))
\begin{aligned}
&A^{\prime}(u, v) \longrightarrow A(x(u, v), y(u, v)) \\
&B^{\prime}(u+\Delta u, v) \longrightarrow B(x(u+\Delta u, v), y(u+\Delta u, v)) \\
&C^{\prime}(u+\Delta u, v+\Delta v) \longrightarrow C(x(u+\Delta u, v+\Delta v), y(u+\Delta u, v+\Delta v)) \\
&D^{\prime}(u, v+\Delta v) \longrightarrow D(x(u, v+\Delta v), y(u, v+\Delta v))
\end{aligned}
A′(u,v)⟶A(x(u,v),y(u,v))B′(u+Δu,v)⟶B(x(u+Δu,v),y(u+Δu,v))C′(u+Δu,v+Δv)⟶C(x(u+Δu,v+Δv),y(u+Δu,v+Δv))D′(u,v+Δv)⟶D(x(u,v+Δv),y(u,v+Δv))
ABCDABCDABCD 近似平行四边形,只需求出一组邻边的向量表示:
三、极坐标系下的计算公式
01 极坐标系下的二重积分
若 ∬Df(x,y)dσ\iint \limits_{D} f(x, y) d \sigmaD∬f(x,y)dσ 存在,当 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 中含有 x2+y2x^2+y^2x2+y2 或积分区域 DDD 是圆域或圆周与直线围成的区域,
令 x=rcosθ , y=rsinθx=r\cos\theta\ , \ y=r\sin\thetax=rcosθ , y=rsinθ,则 ∬Df(x,y)dσ=∬Drθf(rcosθ,rsinθ) r dθdr\iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=\iint \limits_{D_{r\theta}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r \ d\theta drD∬f(x,y)dσ=Drθ∬f(rcosθ,rsinθ) r dθdr .
02 极坐标下积分区域的划分
极坐标下的 θ\thetaθ 型区域
设 DDD 为有界闭区域,从极点 OOO 出发的任何一条射线与 DDD 的边界有无穷个交点(此时 DDD 的边界是射线的一段)
或者至多有两个交点,那么称 DDD 为 θ−\theta-θ− 型区域,且设区域 D={(r,θ)∣r1(θ)⩽r⩽r2(θ) , α⩽θ⩽β}D=\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\theta)\ \ ,\ \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \right\}D={(r,θ)∣r1(θ)⩽r⩽r2(θ) , α⩽θ⩽β}
接下来对于不同类型的 θ−\theta-θ− 型区域进行讨论,设有界闭区域 DDD 为 θ\thetaθ 型区域,
- 极点 OOO 在 DDD 的外部
- 作射线从 xxx 轴开始旋转,确定 θ\thetaθ 的范围 [α,β][\alpha,\beta][α,β] .
- D={(r,θ)∣r1(θ)⩽r⩽r2(θ) , α⩽θ⩽β}D=\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\theta)\ \ ,\ \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \right\}D={(r,θ)∣r1(θ)⩽r⩽r2(θ) , α⩽θ⩽β} .
- 极点 OOO 在 DDD 的边界
- 求出边界曲线 r=r(θ)r=r(\theta)r=r(θ) 的定义域
- 不仅使 r(θ)r(\theta)r(θ) 有意义,且 r(θ)⩾0r(\theta)\geqslant0r(θ)⩾0 的 θ\thetaθ 范围 [α,β][\alpha,\beta][α,β] .
- D={(r,θ)∣0⩽r⩽r(θ) , α⩽θ⩽β}D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant r(\theta)\ \ ,\ \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \right\}D={(r,θ)∣0⩽r⩽r(θ) , α⩽θ⩽β} .
- 极点 OOO 在 DDD 的内部
- D={(r,θ)∣0⩽r⩽r(θ) , 0⩽θ⩽2π}D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant r(\theta)\ \ ,\ 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi \right\}D={(r,θ)∣0⩽r⩽r(θ) , 0⩽θ⩽2π} .
03 极坐标系下二重积分的推导
当积分区域的边界曲线或被积函数用极坐标表示较为简单时,二重积分有时可用极坐标来计算。
我们来考虑面积元素Δσ在极坐标下的形式。用r为常数所表示的圆周族和θ为常数所表示的射线族分割区域D,那么小区域面积Δσ=12[(r+Δr)2Δθ−r2Δθ]=12[2rΔr+(Δr)2]Δθ⟹dσ=rdrdθ从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的变换公式∬Df(x,y)dxdy=∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ若区域D={(r,θ)∣r1(θ)≤r≤r2(θ),α≤θ≤β}二重积分化为累次积分∬Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdθ
\begin{aligned}
& 我们来考虑面积元素 \Delta \sigma 在极坐标下的形式。\\
& 用 r 为常数所表示的圆周族和 \theta 为常数所表示的射线族分割区域 D,那么小区域面积\\
& \Delta \sigma=\frac{1}{2}\left[(r+\Delta r)^{2} \Delta \theta-r^{2} \Delta \theta\right]=\frac{1}{2}\left[2 r \Delta r+(\Delta r)^{2}\right] \Delta \theta \\
& \Longrightarrow \quad d \sigma=r d r d \theta\\
& 从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的变换公式\\
& \quad\quad\quad\quad\iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\iint \limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta\\
& 若区域 D =\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leq r \leq r_{2}(\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta\right\} \\
& 二重积分化为累次积分\\
& \iint \limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta
= \int_{\alpha}^{\beta} d \theta \int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d \theta
\end{aligned}
我们来考虑面积元素Δσ在极坐标下的形式。用r为常数所表示的圆周族和θ为常数所表示的射线族分割区域D,那么小区域面积Δσ=21[(r+Δr)2Δθ−r2Δθ]=21[2rΔr+(Δr)2]Δθ⟹dσ=rdrdθ从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的变换公式D∬f(x,y)dxdy=D∬f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ若区域D={(r,θ)∣r1(θ)≤r≤r2(θ),α≤θ≤β}二重积分化为累次积分D∬f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdθ
四、二重积分积分技巧
利用区域 DDD 的对称性与被积函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 关于相应变量的奇偶性简化二重积分的计算。
若 D 关于 x 轴对称,则∬Df(x)dσ={0f(x,−y)=−f(x,y)2∬D1f(x)dσf(x,−y)=f(x,y)
\begin{aligned}
& 若\ D\ 关于\ x\ 轴对称,则\\
& \quad\quad\iint \limits_{D} f(x) d\sigma=\left\{\begin{array}{cc}0 & f(x,-y)=-f(x,y) \\ 2 \iint \limits_{D_1} f(x) d\sigma & f(x,-y)=f(x,y) \end{array}\right.
\end{aligned}
若 D 关于 x 轴对称,则D∬f(x)dσ={02D1∬f(x)dσf(x,−y)=−f(x,y)f(x,−y)=f(x,y)
对于一般区域的二重积分可将其分成若干个正则子区域,利用积分的可加性,分别在各子区域积分后求和。
当积分区域关于 xxx 轴或 yyy 轴对称时,注意被积函数是否有奇偶性,从而使积分简化。对称性非常重要!