高等数学笔记-苏德矿-第九章-重积分(Ⅰ)-二重积分

高等数学笔记-苏德矿

第九章-重积分(Ⅰ)-二重积分

第一节 二重积分的概念和性质

一、二重积分的典例

01 平面薄板的质量

平面薄片一点的面密度的定义：

设有一个平面薄片位于 $xOy$ 平面上的有界闭区域 $\sigma xy$，设 $P_0(x_0,y_0)\in \sigma xy$，

$P_0\in \Delta \sigma \in \sigma xy$，$\Delta \sigma$ 的面积仍用 $\Delta \sigma$ 表示，称 $\frac{\Delta M}{\Delta \sigma }$ 为 $\Delta \sigma$ 的平均面密度。

若 $\underset{\Delta \sigma \to P_0}{\lim }\frac{\Delta M}{\Delta \sigma }$ 极限存在，该极限称为在 $P_0$ 点的面密度。

如果 $\sigma xy$ 面密度处处相等，称该薄片是密度均质的薄片；否则称薄片密度为非均质的。

设一个平面薄板位于 $xOy$ 平面区域的有界闭区域 $D$，其面密度为 $\mu =\mu (x,y)$ 如何求薄片的质量？

类似一元的处理方法，采用：

(1) 分割

用若干条曲线将 $D$ 任意划分成 $n$ 个小区域 $\Delta D_1,\Delta D_2,\cdots ,\Delta D_n,\Delta D_i$ 的面积记为 $\Delta {\sigma }_i,(i=1,2,\cdots ,n)$

(2) 作和

在小区域分得很小时，近似认为质量均匀，任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\in \Delta D_i$，薄板的质量近似地表达为
$$m=\sum _{i=1}^n\Delta m_i\approx \sum _{i=1}^n\mu \left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$$
(3) 取极限

记 λ = max ⁡ 1 ≤ 1 ≤ n { d i } \lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\} λ=1≤1≤nmax​{ di​}，( $d_i$ 是小区域 $\Delta D_i$ 的直径 ) 那么若下列极限存在，就给出了薄板的质量。
$$m=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\mu \left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$$

02 曲顶柱体的体积

柱体的侧面是母线垂直 $xy$ 平面的柱面，顶面为曲面 $S:z=f(x,y)$，

底面是 $xy$ 平面上区域 $D$，如何求此曲顶柱体的体积？

(1) 分割

用若干条曲线将区域 $D$ 分成小区域 $\Delta D_1,\Delta D_2,\cdots ,\Delta D_n$，而 $\Delta D_i$ 的面积记为 $\Delta {\sigma }_i$，

相应地把柱体分成 $n$ 个小的曲顶柱体 $\Delta V_1,\Delta V_2,\cdots ,\Delta V_n$，而 $\Delta V_i$ 的体积仍记为 $\Delta V_i$ .

(2) 求和

区域分得很小时，用柱体来近似小曲顶柱体的体积，任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\in \Delta D_i$，则总体积近似为： $\sum _{i=1}^n\Delta V_i=\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$

(3) 取极限

记 λ = max ⁡ 1 ≤ 1 ≤ n { d i } \lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\} λ=1≤1≤nmax​{ di​}，( $d_i$ 是小区域 $\Delta D_i$ 的直径 ) ，则体积 $V$ 由如下极限给出： $V=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i\right)\Delta {\sigma }_i$

从以上例子抽象出来就得到二重积分的概念，这类问题要