高等数学笔记-苏德矿-第十一章-级数(Ⅲ)-傅里叶级数

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于 2022-05-25 09:31:36 发布 · 550 阅读

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#高等数学 #微积分 #级数 #傅里叶级数

本文深入探讨了傅里叶级数的基本概念及其在不同区间内的应用，包括级数的推导过程、狄利克雷定理及其延伸，并讨论了有限区间及非标准区间上的傅里叶展开。

高等数学笔记-苏德矿

第十一章级数

第六节傅里叶级数

一、傅里叶级数的概念

01 问题的引入

一个周期为 $T = 2 l$ 的函数能否表示为无限个简单的周期函数之和？

注：这些简单函数指的是：
$1\ ,\ \sin\frac{\pi x}{l}\ ,\ \cos\frac{\pi x}{l}\ ,\ \sin\frac{2\pi x}{l}\ ,\ \cos\frac{2\pi x}{l}\ ,\ \cdots\ ,\ \sin\frac{n\pi x}{l}\ ,\ \cos\frac{n\pi x}{l}\ ,\ \cdots$
通项的周期为： $n=1,2,⋯\displaystyle{ \frac{2\pi}{\frac{n\pi}{l}}=\frac{2l}{n} \ , \ n=1,2,\cdots}%$ ，即 $2 l$ 是这个三角函数系的公共周期。

02 内积的推广定义

定义：设 $(a, b)$ 是一个运算，满足下列条件：

（1） $(a,a)⩾0(a,a)\geqslant0$ （非负性）

（2） $(a, b + c) = (a, b) + (a, c)$ （满足线性运算法则1）

（3） $(a,βb)=β(b,a)(a,\beta b)=\beta(b,a)$ （满足线性运算法则2）

（4） $(a, b) = (b, a)$ （交换性）

称运算 $(a, b)$ 为 $ba\ , \ b$ 的内积。

$(f1(x),f2(x))=∫−llf1(x)f2(x)dx(f_1(x),f_2(x))=\int_{-l}^{l}f_1(x)f_2(x)dx$ 是一个内积。

03 正交三角函数系

$n=1,2,⋯\displaystyle{ \int_{-l}^{l}1\cdot \sin\frac{n\pi x}{l} dx=0\ , \ n=1,2,\cdots }$
$n=1,2,⋯\displaystyle{ \int_{-l}^{l}1\cdot \cos\frac{n\pi x}{l} dx=0\ , \ n=1,2,\cdots }$

$n=1,2,⋯\displaystyle{ \int\cos ax dx=\frac1a\sin ax+C\ , \ n=1,2,\cdots }$

$a≠0\displaystyle{ \int\sin ax dx=\frac1a\cos ax+C\ , \ a\neq0 }$
$n,m=1,2,⋯\displaystyle{ \int_{-l}^{l}\sin\frac{n\pi x}{l}\cdot \cos\frac{m\pi x}{l} dx=0\ , \ n,m=1,2,\cdots }$
$n,m=1,2,⋯\displaystyle{ \int_{-l}^{l}\sin\frac{n\pi x}{l}\cdot \sin\frac{m\pi x}{l} dx=0\ , \ n\neq m\ , \ n,m=1,2,\cdots }$
$n,m=1,2,⋯\displaystyle{ \int_{-l}^{l}\cos\frac{n\pi x}{l}\cdot \cos\frac{m\pi x}{l} dx=0\ , \ n\neq m\ , \ n,m=1,2,\cdots }$
$∫−ll1⋅1dx=2l\displaystyle{ \int_{-l}^{l}1\cdot 1 dx=2l }$
$n=1,2,⋯\displaystyle{ \int_{-l}^{l}\sin^2\frac{n\pi x}{l} dx=l\ , \ n=1,2,\cdots }$
$n=1,2,⋯\displaystyle{ \int_{-l}^{l}\cos^2\frac{n\pi x}{l} dx=l\ , \ n=1,2,\cdots }$

知上面三角函数系是正交三角函数系。

04 傅里叶级数的推导

设 $,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_i,\cdots,\alpha_n$ 为正交向量组，

若 $α=k1α1+k2α2+⋯+kiαi+⋯+knαn\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_i\alpha_i+\cdots+k_n\alpha_n$ ，

由 $(α,αi)=(kiαi,αi)=ki(αi,αi)(\alpha,\alpha_i)=(k_i\alpha_i,\alpha_i)=k_i(\alpha_i,\alpha_i)$ ，

$ki=(α,αi)(αi,αi)=(α,αi)∣αi∣2\displaystyle{ k_i=\frac{(\alpha,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)}=\frac{(\alpha,\alpha_i)}{|\alpha_i|^2} }%$

假如周期为 $T = 2 l$ 的函数 $f (x)$ ，有 $f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπxl+bnsin⁡nπxl)\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l})} }%$