高等数学笔记-苏德矿-第九章-重积分(Ⅱ)-三重积分

高等数学笔记-苏德矿

第九章-重积分(Ⅱ)-三重积分

第三节 三重积分的概念和性质

一、三重积分的典例

01 一些基本概念

(1) 立体的体密度

(2) 求立体V的质量

设有界闭区域立体 $V$ 的密度 $\mu =f(x,y,z)$ 连续，求立体 $V$ 的质量。( 一个占据三维空间中区域 $Q$ 的几何体，其密度为 $f(x,y,z)$，那么其质量为多少? )

(3) 回顾定积分和二重积分的概念

求在三维区域上分布率非均匀的某种物理量 (或其它量) 的总量

分割—求和—求极限

02 推导过程

"分匀和精”

(1) 分割

用若干个曲面将立体 $V$ 分割成 $n$ 个小立体 $\Delta V_1,\Delta V_2,\cdots ,\Delta V_i，\cdots ,\Delta V_n$，

$\Delta V_i$ 的体积仍用 $\Delta V_i$ 表示，λ=max⁡{λi:1⩽i⩽n}\lambda=\max \left\{\lambda_i:1\leqslant i\leqslant n\right\}λ=max{λi​:1⩽i⩽n}

(2) 取近似

$\forall \left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\in \Delta V_i$，$\Delta M_i\approx f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i,i=1,2,\cdots ,n$

(3) 作和

$M=\sum _{i=1}^n\Delta M_i\approx \sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i$

(4) 取极限

$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i=M$

二、三重积分的概念

01 定义

设 $\Omega$ 是 $R^3$ 中的有界闭区域，函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上定义，$I$ 为实数，若将区域 $\Delta {\Omega }_1,\Delta {\Omega }_2,\cdots ,\Delta {\Omega }_n$，任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\in \Delta {\Omega }_i$，

作和 $\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i(\Delta V_i是\Delta {\Omega }_i的体积)$，总有下列极限存在且唯一（与立体的分法和点的取法无关）:

$\underset{i\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i=I$ ( 其中 λ=max⁡1≤i≤n{di},di\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n}\left\{d_{i}\right\}, d_{i}λ=1≤i≤nmax​{di​},di​ 是小区域 $\Delta {\Omega }_i$ 的直径 )，

则称函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 可积，$I$ 称为 $f$ 在 $\Omega$ 的三重积分，记为： $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV(dV-体积元素)$

若 $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV$ 存在，则 $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$

02 物理意义

一种物理意义（三维物体的质量）

若 $f(x,y,z)$ 表示占有三维空间区域 $Q$ 的物体的质量密度函数，则

$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV$ 给出了物体的质量。

若 $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV$ 存在，且 $f(x,y,z)⩾0$，则 $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV$ 表示密度为 $f(x,y,z)$ 立体 $V$ 的质量 $M$ 。

$\underset{\Omega }{\iiint }1dV=\underset{\Omega }{\iiint }dV=V$

03 可积的充分条件

若 $u=f(x,y,z)$ 在有界闭区域 $\Omega$ 上连续，则 $f(x,y,z)$ 在 $V$ 上可积，反之不成立。

三、三重积分的性质

• 具有二重积分所有性质，有线性、可加性、单调性和中值定理

• $\underset{\Omega }{\iiint }1dV=V_{\Omega }(\Omega 的体积)$

• 三重积分中值定理
  $$\begin{array}{rl}& 若f(x,y,z)在有界闭区域V上连续，则\exists P^{\ast }(x^{\ast },y^{\ast },z^{\ast })\in \Omega ，\\ & 使\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=f(x^{\ast },y^{\ast },z^{\ast })V，\\ & 即f(x^{\ast },y^{\ast },z^{\ast })=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV}{V}，称为f(x,y,z)在V上的平均值\end{array}$$

第四节 三重积分的计算

一、在直角坐标系下的计算公式

直角坐标系下， $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$ .

01 三类区域

(1) $xy$ 型区域

设立体 $V$ 是有界闭区域，垂直于 $xOy$ 平面（平行于 $Oz$ 轴）的任何一条直线与立体 $V$ 的边界曲面至多有两个交点（立体边界是母线平行于 $Oz$ 轴的柱面除外），称立体 $V$ 为 $xy$ 型区域。
V={(x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y)  , (x,y)∈σxy}  或写成V: z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y)(x,y)∈σxy \begin{aligned} & V=\left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x,y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x,y)\ \ ,\ (x,y)\in\sigma_{xy} \right\}\ \ 或写成\\ & V:\ z_{1}(x,y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x,y)\\ & \quad\quad\quad\quad (x,y)\in\sigma_{xy} \end{aligned} ​V={(x,y,z)∣z1​(x,y)⩽z⩽z2​(x,y)  , (x,y)∈σxy​}  或写成V: z1​(x,y)⩽z⩽z2​(x,y)(x,y)∈σxy​​

把 $M$ 看成平面薄片 ${\sigma }_{xy}$ 的质量，任取一点 $(x,y)\in {\sigma }_{xy}$（该点对应的实际上是线段，此处将线段质量看作是该点的质量）
$$\mu (x,y)={\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$
则将三重积分转化为二重积分，有
$$\begin{array}{rl}& \underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{{\sigma }_{xy}}{\iint }\mu (x,y)dxdy=\\ & \underset{{\sigma }_{xy}}{\iint }[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz]dxdy=\underset{{\sigma }_{xy}}{\iint }dxdy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\end{array}$$
对于二重积分，存在 $x$ 型区域和 $y$ 型区域不同的情况，接下来对二重积分就两种情况进行讨论

若 ${\sigma }_{xy}$ 为 $x$ 型区域，
$$\begin{array}{rl}& \sigma :{\phi }_1(x)⩽z⩽{\phi }_2(x)，V:z_1(x,y)⩽z⩽z_2(x,y)\\ & a⩽x⩽b{\phi }_1(x)⩽z⩽{\phi }_2(x)\\ & a⩽x⩽b\\ & \underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}dy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\end{array}$$
若 ${\sigma }_{xy}$ 为 $y$ 型区域，
$$\begin{array}{rl}& \sigma :{\phi }_1(y)⩽z⩽{\phi }_2(y)，V:z_1(x,y)⩽z⩽z_2(x,y)\\ & c⩽y⩽d{\phi }_1(y)⩽z⩽{\phi }_2(y)\\ & c⩽y⩽d\\ & \underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\phi }_1(y)}^{{\phi }_2(y)}dx{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\end{array}$$
核心思想：直角坐标系下的投影法

02 投影法（柱线法）

设 $\Omega$ 是以曲面 $\mathrm{z}={\mathrm{z}}_1(x,y)$ 为底，曲面 $\mathrm{z}={\mathrm{z}}_2(x,y)$ 为顶，而侧面是母线平行 $z$ 轴的柱面所围成的区域。

设 $\Omega$ 在 $xy$ 平面上的投影区域为 $D$ ，则 $\Omega$ 可表示为（$xy$ 型正则区域）: {(x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y) , (x,y)∈D}\displaystyle{ \left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x, y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x, y)\ ,\ (x, y) \in D\right\} }%{(x,y,z)∣z1​(x,y)⩽z⩽z2​(x,y) , (x,y)∈D}

从质量角度求三重积分，则 $f(x,y,z)$ 为密度，对 $(x,y)\in D$， $\mu (x,y)={\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$

给出了 $\Omega$ 内由 $z_1(x,y)$ 到 $z_2(x,y)$ 的线段上所分布的质量密度。

物体的总质量就是： $\underset{D}{\iint }\left({\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right)dxdy$

从而有： $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{D}{\iint }dxdy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$

02 平面截割法（截面法）

若 $\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV$ 存在，$\forall M(x,y,z)\in V$，立体 $V$ 可表示为：$$\begin{gathered} V:(x,y)\in D_z \\ c⩽z⩽d \end{gathered}$$ ，则三重积分满足：
$$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV={\int }_c^{d}dz\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)dxdy$$
如图所示进行如下分析：

设立体 $V$，在 $z$ 轴上投影区间为 $[c,d]$，即 $V$ 介于平面 $\mathrm{z}=c$ 与 $\mathrm{z}=d$ 之间，取 $Oz$ 轴上 $c,d$ 点间任意一点 $z$，

过点 $z$ 作垂直于 $Oz$ 轴的截面，截立体得截面 $D_z$（截面上任意一点得竖坐标均为 $z$）。因为 $z$ 为 $c,d$ 间任取一点，

则立体 $V$ 可看作 $c,d$ 间所有截平面 $D_z$ 累加所组成的立体，则立体 $V$ 可表示为如下$z$ 型空间区域：
V={(x,y,z)∣(x,y)∈Dz , c⩽z⩽d} V=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in D_{z}\ ,\ c \leqslant z \leqslant d\right\} V={(x,y,z)∣(x,y)∈Dz​ , c⩽z⩽d}
现从质量角度对三重积分进行解释，假设 $f(x,y,z)⩾0$，从而三重积分满足：
$$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV=M(M是密度为\mu (x,y,z)的立体V的质量)$$
将 $M$ 看成位于 $Oz$ 轴 $[c,d]$ 区间上的一个细棒的质量，设 $\mu (z)$ 是立体 $V$ 的线密度函数，任给 $z\in [c,d]$，有
$$\begin{array}{rl}& \mu (z)=\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)dxdy\Rightarrow \\ & \underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV=M={\int }_c^d\mu (z)dz=\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)dxdy=\\ & {\int }_c^d[\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)dxdy]dz={\int }_c^{d}dz\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)dxdy\end{array}$$
什么时候用平面截割法？

当 $f(x,y,z)=f(z)$，即函数 $f$ 仅是 $z$ 的函数且截面区域 $D_z$ 的面积容易计算（圆、椭圆、三角、矩形等），

此时一定要用平面截割法（不用矿爷真的会哭好吗）！三重积分转化为：
$$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{V}{\iiint }f(z)dV={\int }_c^{d}dz\underset{D_z}{\iint }f(z)dxdy={\int }_c^d{S}_{D_z}\cdot f(z)dz$$
同理，对于 $f(x,y,z)=f(x)或f(x,y,z)=f(y)$ 有相似的结论。

三、三重积分的变量代换

与二重积分的变量代换类似，若 $\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV$ 存在，

设变换 $\{\begin{array}{l}x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w)\end{array}$ 有连续偏导数，且满足： $J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\left|\begin{array}{lll}{x}_u& y_u& z_u\\ x_v& y_v& z_v\\ x_w& y_w& z_w\end{array}\right|\ne 0$

而 $f(x,y,z)$ 在立体区域 $V$ 内连续，那么
$$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{V_{uvw}}{\iiint }f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\cdot |\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}|dudvdw$$

四、柱面坐标系下的计算

01 柱面坐标的变量代换

这个坐标系实际上就是 $xy$ 坐标转变为极坐标，即变换公式为 $\{\begin{array}{c}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$

由于雅可比行列式满足： $\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}=\left|\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -r\sin \theta & r\cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=r$

得到柱面坐标积分公式： $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{\Omega }{\iiint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rdrd\theta dz$

注意，事实上，在具体计算时，可以用柱线法或截面法得到 $D$ ( 或 $D_z$ ) 的二重积分，再转化为极坐标。

02 柱面坐标的投影法分析

若被积函数含有 $x^2+y^2$ 或立体 $V$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分。

令 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$ ，称为柱面坐标变换，其本质为平面上的极坐标变换。

下面用投影法推导分析：
$$\begin{array}{rl}& 设立体V:z_1(x,y)⩽z⩽z_1(x,y)\\ & (x,y)\in \sigma \\ & \underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{\sigma }{\iint }[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_1(x,y)}f(x,y,z)dz]dxdy\\ & 对此二重积分进行极坐标变换，\\ & 所谓的柱面坐标变换，本质就是平面极坐标变换\\ & x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta \\ & 若\sigma 为\theta 型区域，则\sigma :r_1(\theta )⩽r⩽r_2(\theta )\\ & \alpha ⩽\theta ⩽\beta \\ & 原三重积分={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}[{\int }_{z_1(r\cos \theta ,r\sin \theta )}^{z_2(r\cos \theta ,r\sin \theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)]rdr\\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}rdr{\int }_{z_1(r\cos \theta ,r\sin \theta )}^{z_2(r\cos \theta ,r\sin \theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)dz\end{array}$$

03 柱面坐标变换总结

若 $\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV$ 存在，被积函数含有 $x^2+y^2$ 或立体 $V$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分（一般是圆周和直线围成的区域）。那么，令 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$ ，且立体 $V$ 为 $xy$ 型区域，

则立体 $V$ 可表示为 V={(x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x)  , (x,y)∈σxy}V=\left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x,y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x)\ \ ,\ (x,y)\in\sigma_{xy} \right\}V={(x,y,z)∣z1​(x,y)⩽z⩽z2​(x)  , (x,y)∈σxy​} ，

然后将 $\sigma$ 写成 $\theta$ 型区域 σ={(r,θ)∣r1(θ)⩽r⩽r2(θ)  , α⩽θ⩽β}\sigma=\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\theta)\ \ ,\ \alpha\leqslant\theta\leqslant\beta \right\}σ={(r,θ)∣r1​(θ)⩽r⩽r2​(θ)  , α⩽θ⩽β}。

下曲面 $z=z_1(x,y)=z_1(r\cos \theta ,r\sin \theta )$，上曲面 $z=z_2(x,y)=z_2(r\cos \theta ,r\sin \theta )$，

则 $\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}dr{\int }_{z_1(r\cos \theta ,r\sin \theta )}^{z_2(r\cos \theta ,r\sin \theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rdz$ 。

若被积函数中含 $y^2+z^2$ 或立体 $V$ 在 $yOz$ 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分。

那么，令 $\{\begin{array}{l}y=r\cos \theta \\ z=r\sin \theta \\ x=x\end{array}$ ，同理可推导类似结论。

五、球面坐标系下的计算

01 球面坐标的变量代换

设点 $M(x,y,z)$ 是空间一点，引进坐标 $(\rho ,\phi ,\theta )$

$\rho =\Vert \overrightarrow{OM}\Vert$，$\phi :\overrightarrow{OM}$ 与z轴正向的夹角，$\theta :\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正向的夹角，

且 $\rho$，$\phi$，$\theta$ 满足 $0⩽\rho ⩽+\infty ,0⩽\phi ⩽\pi ,0⩽\theta ⩽2\pi 或-\pi ⩽\theta ⩽\pi$ 。

坐标变换关系式$⟹\{\begin{array}{c}x=\rho \sin \phi \cos \theta \\ y=\rho \sin \phi \sin \theta \\ z=\rho \cos \phi \end{array}$

这样建立的坐标系称为球面坐标系，得到的坐标 $(\rho ,\phi ,\theta )$ 称为 $M$ 的球面坐标。
$$\begin{array}{rl}& 由于雅可比行列式\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}=\left|\begin{array}{ccc}\sin \phi \cos \theta & \sin \phi \sin \theta & \cos \phi \\ \rho \cos \phi \cos \theta & \rho \cos \phi \sin \theta & -\rho \sin \phi \\ -\rho \sin \phi \sin \theta & \rho \sin \phi \cos \theta & 0\end{array}\right|={\rho }^2\sin \phi \\ & 导出\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{{\Omega }^{\ast }}{\iiint }f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi ){\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta \end{array}$$
使用球坐标时，$\rho =$ 常数:球面，$\phi =$ 常数: 锥面，$\theta =$ 常数: 平面，

且球面和锥面的中心在原点，平面过 $z$ 轴。

注意，围成区域的部分曲面有上述特点，或被积函数含 $x^2+y^2+z^2$，可考虑用球坐标。

02 球面坐标的二次柱面变换分析

若 $\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV$ 存在，被积函数含有 $x^2+y^2+z^2$ 或立体 $V$ 是球体或者球体的一部分。

采用一组变换，首先，令 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$ ，则 $x^2+y^2+z^2=r^2+z^2$（看成 $r,\theta ,z$ 函数）

然后，令 $\{\begin{array}{l}r=\rho \sin \phi \\ z=\rho \cos \phi \\ \theta =\theta \end{array}$ ，则 $x^2+y^2+z^2=r^2+z^2={\rho }^2$ 。

综上可以看作一次变换，令 $\{\begin{array}{l}x=\rho \sin \phi \cos \theta \\ y=\rho \sin \phi \sin \theta \\ z=\rho \cos \phi \end{array}$ ，称为球面坐标变换，此时，$x^2+y^2+z^2={\rho }^2$ 。

这样建立的坐标系称为球面坐标系，得到的坐标 $(\rho ,\phi ,\theta )$ 称为 $M$ 的球面坐标。

03 球面坐标系与球面坐标

球面坐标系与球面坐标一种记忆模式：

由 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ r=\rho \sin \phi \\ z=\rho \cos \phi \end{array}$ 有 $\{\begin{array}{l}x=\rho \sin \phi \cos \theta \\ y=\rho \sin \phi \sin \theta \\ z=\rho \cos \phi \end{array}$ 称为球面坐标变换。

$x^2+y^2+z^2={\rho }^2\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\rho 且x^2+y^2+z^2=R^2\Rightarrow \rho =R$

球面坐标系与球面坐标代换总结：

若被积函数含有 $x^2+y^2+z^2$ 或立体 $V$ 是球体或者球体的一部分，

一般是球面与锥面或球面与平面或锥面与平面围成的立体，用球面坐标变换。

04 球面坐标系下三个最简单的方程表示的曲面

$$\begin{array}{rl}& (1)\rho =R(R⩾0，常数)表示以O点为心，R为半径的球面\iff {\rho }^2=R^2\iff x^2+y^2+z^2=R^2\\ & (2)\phi ={\phi }_0(0⩽{\phi }_0⩽\pi ，常数)表示一个半锥面，Oz轴正向与锥面母线的夹角为{\phi }_0\\ & 该方程转化为空间直角坐标系为:x^2+y^2-z^2{\tan }^2{\phi }_0=0\\ & (3)\theta ={\theta }_0(0⩽\theta ⩽2\pi 或-\pi ⩽\theta ⩽\pi ，常数)表示yOz右半平面\\ & 该方程转化为空间直角坐标系为:\theta =\frac{\pi }{2}\end{array}$$

05 球面坐标变换下的三重积分

在 $\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV$ 中，用球面坐标变换 $\{\begin{array}{l}x=\rho \sin \phi \cos \theta \\ y=\rho \sin \phi \sin \theta \\ z=\rho \cos \phi \end{array}$ ，核心：寻找 $dV$ 和 $d\theta d\phi d\rho$ 的关系。

本质：对三重积分式进行两次柱面坐标积分变换。

第一次变换，令 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$ ，则 $\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{V_{r\theta z}}{\iiint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rd\theta drdz$ 。

第二次变换，令 $\{\begin{array}{l}r=\rho \sin \phi \\ z=\rho \cos \phi \\ \theta =\theta \end{array}$ ，则 $\underset{V_{r\theta z}}{\iiint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rd\theta drdz=\underset{V_{\theta \phi \rho }}{\iiint }f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi )\rho \sin \phi \cdot \rho d\theta d\phi d\rho$ 。

综上，经过球面坐标变换，$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{V_{\theta \phi \rho }}{\iiint }f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi ){\rho }^2\sin \phi d\theta d\phi d\rho$ 。

要求上述积分化成球面坐标下的累次积分，先积 $\rho$，其次积 $\phi$，最后积 $\theta$ 。

即对 $\forall M(\rho ,\phi ,\theta )\in V$，将坐标用不等式表示， $$\begin{gathered} V:{\rho }_1(\theta ,\phi )⩽\rho ⩽{\rho }_2(\theta ,\phi ) \\ {\phi }_1(\theta )⩽z⩽{\phi }_2(\theta ) \\ \alpha ⩽\theta ⩽\beta \end{gathered}$$ （累次积分变换的核心），

则三重积分 $\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)dV={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{{\phi }_1(\theta )}^{{\phi }_2(\theta )}\phi d\phi {\int }_{{\rho }_1(\theta ,\phi )}^{{\rho }_1(\theta ,\phi )}f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi ){\rho }^2\sin \phi d\rho$ .

接下来研究对于不等式表示的 $\theta$ 区域、$\phi$ 区域和 $\rho$ 的取值如何确定。

对于 $\forall M(\rho ,\phi ,\theta )\in V$，先找出立体 $V$ 在 $xOy$ 平面上投影的的 $\sigma$ 区域，将该 $\sigma$ 区域处理成 $\theta$ 区域。

找出 $\sigma$ 在平面极坐标系下 $\theta$ 的范围 $[\alpha ,\beta ]$，则 $\alpha ⩽\theta ⩽\beta$ 。

平面极坐标下的射线 $\theta =\theta$ 与 $Oz$ 轴组成一个垂直于平面 $xOy$ 的截面，记为平面 $\theta Oz$ 。

连接 $OM\in \theta Oz$ ，$\phi$ 的几何意义是由 $Oz$ 轴向 $OM$ 旋转所得的夹角。

设射线 $ON$ 最开始与 $Oz$ 轴重合，$N\in \theta Oz$ 恒成立，将射线 $ON$ 从 $Oz$ 轴开始沿半平面 $\theta Oz$ 向 $OM$ 旋转，

第一次接触立体 $V$ 产生的交点，记此时的夹角 $\phi ={\phi }_1$；最后离开立体 $V$ 的交点，记此时的夹角 $\phi ={\phi }_2$ 。

显然有，${\phi }_1⩽\phi ⩽{\phi }_2$ 。在多数题目情况下，${\phi }_1$ 为常数甚至为 $0$ 。

于是，寻找清晰直观的平面进行研究，若 $\alpha ⩽\frac{\pi }{2}⩽\beta$，$\theta =\frac{\pi }{2}$（ $yOz$ 右半平面）与立体的截面找到求出范围。

线段 $OM$ 与截面区域的边界有两个交点，分别对应大小不同的极径，

如果极径小的点始终落在同一个曲面上，则这个曲面称为下曲面 $\rho ={\rho }_1(\theta ,\phi )$ ；

如果极径大的点始终落在同一个曲面上，则这个曲面称为上曲面 $\rho ={\rho }_2(\theta ,\phi )$ 。

因此有，${\rho }_1(\theta ,\phi )⩽\rho ⩽{\rho }_2(\theta ,\phi )$ 。