高等数学笔记-苏德矿
第九章-重积分(Ⅱ)-三重积分
第三节 三重积分的概念和性质
一、三重积分的典例
01 一些基本概念
(1) 立体的体密度
(2) 求立体V的质量
设有界闭区域立体 VVV 的密度 μ=f(x,y,z)\mu=f(x,y,z)μ=f(x,y,z) 连续,求立体 VVV 的质量。( 一个占据三维空间中区域 QQQ 的几何体,其密度为 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z),那么其质量为多少? )
(3) 回顾定积分和二重积分的概念
求在三维区域上分布率非均匀的某种物理量 (或其它量) 的总量
分割—求和—求极限
02 推导过程
"分匀和精”
(1) 分割
用若干个曲面将立体 VVV 分割成 nnn 个小立体 ΔV1,ΔV2,⋯ ,ΔVi,⋯ ,ΔVn\Delta V_1,\Delta V_2,\cdots,\Delta V_i,\cdots,\Delta V_nΔV1,ΔV2,⋯,ΔVi,⋯,ΔVn,
ΔVi\Delta V_iΔVi 的体积仍用 ΔVi\Delta V_iΔVi 表示,λ=max{λi:1⩽i⩽n}\lambda=\max \left\{\lambda_i:1\leqslant i\leqslant n\right\}λ=max{λi:1⩽i⩽n}
(2) 取近似
∀(ξi,ηi,ςi)∈ΔVi\forall \left(\xi_{i}, \eta_{i}, \varsigma_{i}\right) \in\Delta V_i∀(ξi,ηi,ςi)∈ΔVi,ΔMi≈f(ξi,ηi,ςi)ΔVi,i=1,2,⋯ ,n\Delta M_i\approx f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \varsigma_{i}\right)\Delta V_i,i=1,2,\cdots,nΔMi≈f(ξi,ηi,ςi)ΔVi,i=1,2,⋯,n
(3) 作和
M=∑i=1nΔMi≈∑i=1nf(ξi,ηi,ςi)ΔViM=\sum\limits_{i=1}^{n} \Delta M_i\approx\sum\limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \varsigma_{i}\right)\Delta V_iM=i=1∑nΔMi≈i=1∑nf(ξi,ηi,ςi)ΔVi
(4) 取极限
limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi,ςi)ΔVi=M\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0 }\sum\limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \varsigma_{i}\right)\Delta V_i=Mλ→0limi=1∑nf(ξi,ηi,ςi)ΔVi=M
二、三重积分的概念
01 定义
设 Ω\OmegaΩ 是 R3R^{3}R3 中的有界闭区域,函数 f(x,y,z)f(x, y, z)f(x,y,z) 在 Ω\OmegaΩ 上定义,III 为实数,若将区域 ΔΩ1,ΔΩ2,⋯ ,ΔΩn\Delta \Omega_{1}, \Delta \Omega_{2}, \cdots, \Delta \Omega_{n}ΔΩ1,ΔΩ2,⋯,ΔΩn,任取 (ξi,ηi,ςi)∈ΔΩi\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \varsigma_{i}\right) \in \Delta \Omega_{i}(ξi,ηi,ςi)∈ΔΩi,
作和 ∑i=1nf(ξi,ηi,ςi)ΔVi(ΔVi是ΔΩi的体积)\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \varsigma_{i}\right) \Delta V_{i}\quad(\Delta V_{i} 是 \Delta \Omega_{i} 的体积 ) }%i=1∑nf(ξi,ηi,ςi)ΔVi(ΔVi是ΔΩi的体积),总有下列极限存在且唯一(与立体的分法和点的取法无关):
limi→0∑i=1nf(ξi,ηi,ςi)ΔVi=I\displaystyle{ \lim _{i \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \varsigma_{i}\right) \Delta V_{i}=I }%i→0limi=1∑nf(ξi,ηi,ςi)ΔVi=I ( 其中 λ=max1≤i≤n{di},di\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n}\left\{d_{i}\right\}, d_{i}λ=1≤i≤nmax{di},di 是小区域 ΔΩi\Delta \Omega_{i}ΔΩi 的直径 ),
则称函数 f(x,y,z)f(x, y, z)f(x,y,z) 在 Ω\OmegaΩ 可积,III 称为 fff 在 Ω\OmegaΩ 的三重积分,记为: ∭Ωf(x,y,z)dV(dV−体积元素)\displaystyle{ \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V\quad(dV-体积元素) }%Ω∭f(x,y,z)dV(dV−体积元素)
若 ∭Ωf(x,y,z)dV\iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d VΩ∭f(x,y,z)dV 存在,则 ∭Ωf(x,y,z)dxdydz\iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) dxdydzΩ∭f(x,y,z)dxdydz
02 物理意义
一种物理意义(三维物体的质量)
若 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 表示占有三维空间区域 QQQ 的物体的质量密度函数,则
∭Ωf(x,y,z)dV\iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d VΩ∭f(x,y,z)dV 给出了物体的质量。
若 ∭Ωf(x,y,z)dV\iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d VΩ∭f(x,y,z)dV 存在,且 f(x,y,z)⩾0f(x,y,z)\geqslant0f(x,y,z)⩾0,则 ∭Ωf(x,y,z)dV\iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d VΩ∭f(x,y,z)dV 表示密度为 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 立体 VVV 的质量 MMM 。
∭Ω1dV=∭ΩdV=V\iiint \limits_{\Omega} 1 d V=\iiint \limits_{\Omega} d V=VΩ∭1dV=Ω∭dV=V
03 可积的充分条件
若 u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)u=f(x,y,z) 在有界闭区域 Ω\OmegaΩ 上连续,则 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 在 VVV 上可积,反之不成立。
三、三重积分的性质
-
具有二重积分所有性质,有线性、可加性、单调性和中值定理
-
∭Ω1dV=VΩ(Ω的体积)\iiint \limits_{\Omega} 1 d V=V_{\Omega}\quad(\Omega的体积)Ω∭1dV=VΩ(Ω的体积)
-
三重积分中值定理
若f(x,y,z)在有界闭区域V上连续,则∃P∗(x∗,y∗,z∗)∈Ω,使∭Ωf(x,y,z)dV=f(x∗,y∗,z∗)V,即 f(x∗,y∗,z∗)=∭Ωf(x,y,z)dVV,称为 f(x,y,z) 在V上的平均值 \begin{aligned} & 若 f(x,y,z) 在有界闭区域 V 上连续,则 \exist P^*(x^*,y^*,z^*)\in\Omega,\\ & 使 \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=f(x^*,y^*,z^*)V,\\ & 即\ f(x^*,y^*,z^*)=\frac{\iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V}{V},称为\ f(x, y, z)\ 在V上的平均值 \end{aligned} 若f(x,y,z)在有界闭区域V上连续,则∃P∗(x∗,y∗,z∗)∈Ω,使Ω∭f(x,y,z)dV=f(x∗,y∗,z∗)V,即 f(x∗,y∗,z∗)=VΩ∭f(x,y,z)dV,称为 f(x,y,z) 在V上的平均值
第四节 三重积分的计算
一、在直角坐标系下的计算公式
直角坐标系下, ∭Ωf(x,y,z)dV=∭Ωf(x,y,z)dxdydz\displaystyle{ \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d x d y d z }%Ω∭f(x,y,z)dV=Ω∭f(x,y,z)dxdydz .
01 三类区域
(1) xyxyxy 型区域
设立体 VVV 是有界闭区域,垂直于 xOyxOyxOy 平面(平行于 OzOzOz 轴)的任何一条直线与立体 VVV 的边界曲面至多有两个交点(立体边界是母线平行于 OzOzOz 轴的柱面除外),称立体 VVV 为 xyxyxy 型区域。
V={(x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y) , (x,y)∈σxy} 或写成V: z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y)(x,y)∈σxy
\begin{aligned}
& V=\left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x,y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x,y)\ \ ,\ (x,y)\in\sigma_{xy} \right\}\ \ 或写成\\
& V:\ z_{1}(x,y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x,y)\\
& \quad\quad\quad\quad (x,y)\in\sigma_{xy}
\end{aligned}
V={(x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y) , (x,y)∈σxy} 或写成V: z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y)(x,y)∈σxy
把 MMM 看成平面薄片 σxy\sigma_{xy}σxy 的质量,任取一点 (x,y)∈σxy(x,y)\in\sigma_{xy}(x,y)∈σxy(该点对应的实际上是线段,此处将线段质量看作是该点的质量)
μ(x,y)=∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
\mu(x,y)=\int _{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz
μ(x,y)=∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
则将三重积分转化为二重积分,有
∭Ωf(x,y,z)dV=∬σxyμ(x,y)dxdy=∬σxy[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dxdy=∬σxydxdy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
\begin{aligned}
& \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iint \limits_{\sigma_{xy}}\mu(x,y)dxdy=\\
& \iint \limits_{\sigma_{xy}}[\int _{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz]dxdy=\iint \limits_{\sigma_{xy}}dxdy\int _{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz
\end{aligned}
Ω∭f(x,y,z)dV=σxy∬μ(x,y)dxdy=σxy∬[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dxdy=σxy∬dxdy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
对于二重积分,存在 xxx 型区域和 yyy 型区域不同的情况,接下来对二重积分就两种情况进行讨论
若 σxy\sigma_{xy}σxy 为 xxx 型区域,
σ:φ1(x)⩽z⩽φ2(x) , V: z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y) a⩽x⩽bφ1(x)⩽z⩽φ2(x) a⩽x⩽b∭Vf(x,y,z)dV=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)dy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
\begin{aligned}
& \sigma:\varphi_1(x)\leqslant z\leqslant\varphi_2(x)\ \ ,\
V:\ z_{1}(x,y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x,y)\\
& \quad\quad\quad\ \ a\leqslant x\leqslant b\quad\quad\quad\quad\quad\quad
\varphi_1(x)\leqslant z\leqslant\varphi_2(x) \\
& \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \ a\leqslant x\leqslant b\\
& \iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\int_{a}^{b}dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}dy\int _{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz
\end{aligned}
σ:φ1(x)⩽z⩽φ2(x) , V: z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y) a⩽x⩽bφ1(x)⩽z⩽φ2(x) a⩽x⩽bV∭f(x,y,z)dV=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)dy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
若 σxy\sigma_{xy}σxy 为 yyy 型区域,
σ:φ1(y)⩽z⩽φ2(y) , V: z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y) c⩽y⩽dφ1(y)⩽z⩽φ2(y) c⩽y⩽d∭Vf(x,y,z)dV=∫cddy∫φ1(y)φ2(y)dx∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
\begin{aligned}
& \sigma:\varphi_1(y)\leqslant z\leqslant\varphi_2(y)\ \ ,\
V:\ z_{1}(x,y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x,y)\\
& \quad\quad\quad\ \ c\leqslant y\leqslant d\quad\quad\quad\quad\quad\quad
\varphi_1(y)\leqslant z\leqslant\varphi_2(y) \\
& \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \ c\leqslant y\leqslant d\\
& \iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\int_{c}^{d}dy\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)}dx\int _{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz
\end{aligned}
σ:φ1(y)⩽z⩽φ2(y) , V: z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y) c⩽y⩽dφ1(y)⩽z⩽φ2(y) c⩽y⩽dV∭f(x,y,z)dV=∫cddy∫φ1(y)φ2(y)dx∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
核心思想:直角坐标系下的投影法
02 投影法(柱线法)
设 Ω\OmegaΩ 是以曲面 z=z1(x,y)\mathrm{z}=\mathrm{z}_{1}(x, y)z=z1(x,y) 为底,曲面 z=z2(x,y)\mathrm{z}=\mathrm{z}_{2}(x, y)z=z2(x,y) 为顶,而侧面是母线平行 zzz 轴的柱面所围成的区域。
设 Ω\OmegaΩ 在 xyx yxy 平面上的投影区域为 DDD ,则 Ω\OmegaΩ 可表示为(xyx yxy 型正则区域): {(x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y) , (x,y)∈D}\displaystyle{ \left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x, y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x, y)\ ,\ (x, y) \in D\right\} }%{(x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y) , (x,y)∈D}
从质量角度求三重积分,则 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 为密度,对 (x,y)∈D(x,y)\in D(x,y)∈D, μ(x,y)=∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz\displaystyle{ \mu(x, y)=\int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z) d z }%μ(x,y)=∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
给出了 Ω\OmegaΩ 内由 z1(x,y)z_1(x,y)z1(x,y) 到 z2(x,y)z_2(x,y)z2(x,y) 的线段上所分布的质量密度。
物体的总质量就是: ∬D(∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz)dxdy\displaystyle{ \iint \limits_{D}\left(\int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z) d z\right) d x d y }%D∬(∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz)dxdy
从而有: ∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∬Ddxdy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz\displaystyle{ \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d x d y d z=\iint \limits_{D} d x d y \int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z) d z }%Ω∭f(x,y,z)dxdydz=D∬dxdy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz
02 平面截割法(截面法)
若 ∭Vf(x,y,z)dV\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d VV∭f(x,y,z)dV 存在,∀ M(x,y,z)∈V\forall\ M(x,y,z)\in V∀ M(x,y,z)∈V,立体 VVV 可表示为:V:(x,y)∈Dz c⩽z⩽dV:(x,y)\in D_z\\
\quad\ \ c\leqslant z\leqslant dV:(x,y)∈Dz c⩽z⩽d ,则三重积分满足:
∭Vf(x,y,z)dV=∫cddz∬Dzf(x,y,z)dxdy
\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\int_{c}^{d}dz\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)dxdy
V∭f(x,y,z)dV=∫cddzDz∬f(x,y,z)dxdy
如图所示进行如下分析:
设立体 VVV,在 zzz 轴上投影区间为 [c,d][c,d][c,d],即 VVV 介于平面 z=c\mathrm{z}=cz=c 与 z=d\mathrm{z}=dz=d 之间,取 OzOzOz 轴上 c,dc,dc,d 点间任意一点 zzz,
过点 zzz 作垂直于 OzOzOz 轴的截面,截立体得截面 DzD_zDz(截面上任意一点得竖坐标均为 zzz)。因为 zzz 为 c,dc,dc,d 间任取一点,
则立体 VVV 可看作 c,dc,dc,d 间所有截平面 DzD_zDz 累加所组成的立体,则立体 VVV 可表示为如下zzz 型空间区域:
V={(x,y,z)∣(x,y)∈Dz , c⩽z⩽d}
V=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in D_{z}\ ,\ c \leqslant z \leqslant d\right\}
V={(x,y,z)∣(x,y)∈Dz , c⩽z⩽d}
现从质量角度对三重积分进行解释,假设 f(x,y,z)⩾0f(x,y,z)\geqslant0f(x,y,z)⩾0,从而三重积分满足:
∭Vf(x,y,z)dV=M ( M 是密度为 μ(x,y,z) 的立体 V 的质量)
\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=M\ \ (\ M\ 是密度为\ \mu(x,y,z)\ 的立体\ V\ 的质量)
V∭f(x,y,z)dV=M ( M 是密度为 μ(x,y,z) 的立体 V 的质量)
将 MMM 看成位于 OzOzOz 轴 [c,d][c,d][c,d] 区间上的一个细棒的质量,设 μ(z)\mu(z)μ(z) 是立体 VVV 的线密度函数,任给 z∈[c,d]z\in[c,d]z∈[c,d],有
μ(z)=∬Dzf(x,y,z)dxdy ⇒∭Vf(x,y,z)dV=M=∫cdμ(z)dz=∬Dzf(x,y,z)dxdy=∫cd[∬Dzf(x,y,z)dxdy]dz=∫cddz∬Dzf(x,y,z)dxdy
\begin{aligned}
& \mu(z)=\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)dxdy \ \Rightarrow \\
& \iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=M=\int_{c}^{d}\mu(z)dz=\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)dxdy=\\
& \int_{c}^{d}[\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)dxdy]dz=\int_{c}^{d}dz\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)dxdy
\end{aligned}
μ(z)=Dz∬f(x,y,z)dxdy ⇒V∭f(x,y,z)dV=M=∫cdμ(z)dz=Dz∬f(x,y,z)dxdy=∫cd[Dz∬f(x,y,z)dxdy]dz=∫cddzDz∬f(x,y,z)dxdy
什么时候用平面截割法?
当 f(x,y,z)=f(z)f(x,y,z)=f(z)f(x,y,z)=f(z),即函数 fff 仅是 zzz 的函数且截面区域 DzD_zDz 的面积容易计算(圆、椭圆、三角、矩形等),
此时一定要用平面截割法(不用矿爷真的会哭好吗)!三重积分转化为:
∭Vf(x,y,z)dV=∭Vf(z)dV=∫cddz∬Dzf(z)dxdy=∫cdSDz⋅f(z)dz
\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{V} f(z) d V=\int_{c}^{d}dz\iint\limits_{D_z}f(z)dxdy=\int_{c}^{d}S_{D_z}\cdot f(z)dz
V∭f(x,y,z)dV=V∭f(z)dV=∫cddzDz∬f(z)dxdy=∫cdSDz⋅f(z)dz
同理,对于 f(x,y,z)=f(x) 或 f(x,y,z)=f(y)f(x,y,z)=f(x)\ 或\ f(x,y,z)=f(y)f(x,y,z)=f(x) 或 f(x,y,z)=f(y) 有相似的结论。
三、三重积分的变量代换
与二重积分的变量代换类似,若 ∭Vf(x,y,z)dV\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d VV∭f(x,y,z)dV 存在,
设变换 { x = x (u,v,w) y = y (u,v,w) z = z (u,v,w)\begin{cases}\ x\ =\ x\ (u,v,w) \\ \ y\ =\ y\ (u,v,w) \\ \ z\ =\ z\ (u,v,w) \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ x = x (u,v,w) y = y (u,v,w) z = z (u,v,w) 有连续偏导数,且满足: J=∂(x,y,z)∂(u,v,w)=∣xuyuzuxvyvzvxwywzw∣≠0\displaystyle{ J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}=\left|\begin{array}{lll} x_{u} & y_{u} & z_{u} \\ x_{v} & y_{v} & z_{v} \\ x_{w} & y_{w} & z_{w} \end{array}\right| \neq 0 }%J=∂(u,v,w)∂(x,y,z)=∣∣∣∣∣∣xuxvxwyuyvywzuzvzw∣∣∣∣∣∣=0
而 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 在立体区域 VVV 内连续,那么
∭Vf(x,y,z)dV=∭Vuvwf(x (u,v,w),y (u,v,w),z (u,v,w))⋅∣∂(x,y,z)∂(u,v,w)∣ dudvdw
\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{V_{uvw}} f(x\ (u,v,w), y\ (u,v,w), z\ (u,v,w))\cdot|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}|\ dudvdw
V∭f(x,y,z)dV=Vuvw∭f(x (u,v,w),y (u,v,w),z (u,v,w))⋅∣∂(u,v,w)∂(x,y,z)∣ dudvdw
四、柱面坐标系下的计算
01 柱面坐标的变量代换
这个坐标系实际上就是 xyxyxy 坐标转变为极坐标,即变换公式为 {x=rcosθy=rsinθz=z\left\{\begin{array}{c}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \\ z=z\end{array}\right.⎩⎨⎧x=rcosθy=rsinθz=z
由于雅可比行列式满足: ∂(x,y,z)∂(r,θ,z)=∣cosθsinθ0−rsinθrcosθ0001∣=r\displaystyle{ \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}=\left|\begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -r \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=r }%∂(r,θ,z)∂(x,y,z)=∣∣∣∣∣∣cosθ−rsinθ0sinθrcosθ0001∣∣∣∣∣∣=r
得到柱面坐标积分公式: ∭Ωf(x,y,z)dV=∭Ωf(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz\displaystyle{ \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r d r d \theta d z }%Ω∭f(x,y,z)dV=Ω∭f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz
注意,事实上,在具体计算时,可以用柱线法或截面法得到 DDD ( 或 DzD_zDz ) 的二重积分,再转化为极坐标。
02 柱面坐标的投影法分析
若被积函数含有 x2+y2x^2+y^2x2+y2 或立体 VVV 在 xOyxOyxOy 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分。
令 { x = rcosθ y = rsinθ z = z\begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ x = rcosθ y = rsinθ z = z ,称为柱面坐标变换,其本质为平面上的极坐标变换。
下面用投影法推导分析:
设立体V:z1(x,y)⩽z⩽z1(x,y)(x,y)∈σ∭Ωf(x,y,z)dV=∬σ[ ∫z1(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz ]dxdy对此二重积分进行极坐标变换,所谓的柱面坐标变换,本质就是平面极坐标变换x=rcosθ , y=rsinθ若 σ 为 θ 型区域,则 σ : r1(θ)⩽r⩽r2(θ) α⩽θ⩽β原三重积分=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)[∫z1(rcosθ,rsinθ)z2(rcosθ,rsinθ)f(rcosθ,rsinθ,z) ] rdr =∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)rdr∫z1(rcosθ,rsinθ)z2(rcosθ,rsinθ)f(rcosθ,rsinθ,z) dz
\begin{aligned}
& 设立体V:z_1(x,y)\leqslant z\leqslant z_1(x,y)\\
& \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (x,y)\in\sigma\\
& \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iint \limits_{\sigma} [\ \int _{z_1(x,y)}^{z_1(x,y)}f(x,y,z)dz\ ] dxdy\\
& 对此二重积分进行极坐标变换,\\
& 所谓的柱面坐标变换,本质就是平面极坐标变换\\
& x=r\cos\theta \ , \ y=r\sin\theta\\
& 若\ \sigma\ 为\ \theta\ 型区域,则\ \sigma\ : \ r_1(\theta)\leqslant r\leqslant r_2(\theta)\\
& \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \alpha\leqslant\theta\leqslant\beta\\
& 原三重积分=\int _{\alpha}^{\beta}d\theta\int _{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}[\int _{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ ]\ rdr\\
& \quad\quad\quad\quad\ =\int _{\alpha}^{\beta}d\theta\int _{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}rdr\int _{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ dz\\
\end{aligned}
设立体V:z1(x,y)⩽z⩽z1(x,y)(x,y)∈σΩ∭f(x,y,z)dV=σ∬[ ∫z1(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz ]dxdy对此二重积分进行极坐标变换,所谓的柱面坐标变换,本质就是平面极坐标变换x=rcosθ , y=rsinθ若 σ 为 θ 型区域,则 σ : r1(θ)⩽r⩽r2(θ) α⩽θ⩽β原三重积分=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)[∫z1(rcosθ,rsinθ)z2(rcosθ,rsinθ)f(rcosθ,rsinθ,z) ] rdr =∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)rdr∫z1(rcosθ,rsinθ)z2(rcosθ,rsinθ)f(rcosθ,rsinθ,z) dz
03 柱面坐标变换总结
若 ∭Vf(x,y,z)dV\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d VV∭f(x,y,z)dV 存在,被积函数含有 x2+y2x^2+y^2x2+y2 或立体 VVV 在 xOyxOyxOy 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分(一般是圆周和直线围成的区域)。那么,令 { x = rcosθ y = rsinθ z = z\begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ x = rcosθ y = rsinθ z = z ,且立体 VVV 为 xyxyxy 型区域,
则立体 VVV 可表示为 V={(x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x) , (x,y)∈σxy}V=\left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x,y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x)\ \ ,\ (x,y)\in\sigma_{xy} \right\}V={(x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x) , (x,y)∈σxy} ,
然后将 σ\sigmaσ 写成 θ\thetaθ 型区域 σ={(r,θ)∣r1(θ)⩽r⩽r2(θ) , α⩽θ⩽β}\sigma=\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\theta)\ \ ,\ \alpha\leqslant\theta\leqslant\beta \right\}σ={(r,θ)∣r1(θ)⩽r⩽r2(θ) , α⩽θ⩽β}。
下曲面 z=z1(x,y)=z1(rcosθ,rsinθ)z=z_1(x,y)=z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)z=z1(x,y)=z1(rcosθ,rsinθ),上曲面 z=z2(x,y)=z2(rcosθ,rsinθ)z=z_2(x,y)=z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)z=z2(x,y)=z2(rcosθ,rsinθ),
则 ∭Vf(x,y,z)dV=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)dr∫z1(rcosθ,rsinθ)z2(rcosθ,rsinθ)f(rcosθ,rsinθ,z) r dz\displaystyle{\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\int _{\alpha}^{\beta}d\theta\int _{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}dr\int _{z_1(r\cos\theta,r\sin\theta)}^{z_2(r\cos\theta,r\sin\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ r \ dz}%V∭f(x,y,z)dV=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)dr∫z1(rcosθ,rsinθ)z2(rcosθ,rsinθ)f(rcosθ,rsinθ,z) r dz 。
若被积函数中含 y2+z2y^2+z^2y2+z2 或立体 VVV 在 yOzyOzyOz 平面上的投影区域是圆域或者圆域的一部分。
那么,令 { y = rcosθ z = rsinθ x = x\begin{cases}\ y\ =\ r\cos\theta \\ \ z\ =\ r\sin\theta \\ \ x\ =\ \ \ \ x\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ y = rcosθ z = rsinθ x = x ,同理可推导类似结论。
五、球面坐标系下的计算
01 球面坐标的变量代换
设点 M(x,y,z)M(x, y, z)M(x,y,z) 是空间一点,引进坐标 (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)(ρ,φ,θ)
ρ=∥OM→∥\rho=\|\overrightarrow{O M}\|ρ=∥OM∥,φ:OM→\varphi: \overrightarrow{O M}φ:OM 与z轴正向的夹角,θ:OP→\theta: \overrightarrow{O P}θ:OP 与 xxx 轴正向的夹角,
且 ρ\rhoρ,φ\varphiφ,θ\thetaθ 满足 0⩽ρ⩽+∞ , 0⩽φ⩽π , 0⩽θ⩽2π 或−π⩽θ⩽π0 \leqslant \rho \leqslant+\infty\ \ ,\ \ 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi\ \ ,\ \ 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\ 或-\pi\leqslant\theta\leqslant\pi0⩽ρ⩽+∞ , 0⩽φ⩽π , 0⩽θ⩽2π 或−π⩽θ⩽π 。
坐标变换关系式⟹ {x=ρsinφcosθy=ρsinφsinθz=ρcosφ\quad\Longrightarrow\ \left\{\begin{array}{c} x=\rho \sin \varphi \cos \theta \\ y=\rho \sin \varphi \sin \theta \\ z=\rho \cos \varphi \end{array}\right.⟹ ⎩⎨⎧x=ρsinφcosθy=ρsinφsinθz=ρcosφ
这样建立的坐标系称为球面坐标系,得到的坐标 (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)(ρ,φ,θ) 称为 MMM 的球面坐标。
由于雅可比行列式 ∂(x,y,z)∂(ρ,φ,θ)=∣sinφcosθsinφsinθcosφρcosφcosθρcosφsinθ−ρsinφ−ρsinφsinθρsinφcosθ0∣=ρ2sinφ导出 ∭Ωf(x,y,z)dV=∭Ω∗f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφdρdφdθ
\begin{aligned}
& 由于雅可比行列式\ \ \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \varphi, \theta)} =\left|\begin{array}{ccc}
\sin \varphi \cos \theta & \sin \varphi \sin \theta & \cos \varphi \\
\rho \cos \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \sin \theta & -\rho \sin \varphi \\
-\rho \sin \varphi \sin \theta & \rho \sin \varphi \cos \theta & 0
\end{array}\right| =\rho^{2} \sin \varphi\\
& 导出\ \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V =\iiint \limits_{\Omega^{*}} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta
\end{aligned}
由于雅可比行列式 ∂(ρ,φ,θ)∂(x,y,z)=∣∣∣∣∣∣sinφcosθρcosφcosθ−ρsinφsinθsinφsinθρcosφsinθρsinφcosθcosφ−ρsinφ0∣∣∣∣∣∣=ρ2sinφ导出 Ω∭f(x,y,z)dV=Ω∗∭f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφdρdφdθ
使用球坐标时,ρ=\rho=ρ= 常数:球面,φ=\varphi=φ= 常数: 锥面,θ=\theta=θ= 常数: 平面,
且球面和锥面的中心在原点,平面过 zzz 轴。
注意,围成区域的部分曲面有上述特点,或被积函数含 x2+y2+z2x^{2}+y^{2}+z^{2}x2+y2+z2,可考虑用球坐标。
02 球面坐标的二次柱面变换分析
若 ∭Vf(x,y,z)dV\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d VV∭f(x,y,z)dV 存在,被积函数含有 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2x2+y2+z2 或立体 VVV 是球体或者球体的一部分。
采用一组变换,首先,令 { x = rcosθ y = rsinθ z = z\begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ x = rcosθ y = rsinθ z = z ,则 x2+y2+z2=r2+z2x^2+y^2+z^2=r^2+z^2x2+y2+z2=r2+z2(看成 r , θ , zr\ ,\ \theta\ ,\ zr , θ , z 函数)
然后,令 { r =ρsinφ z =ρcosφ θ = θ\begin{cases}\ r\ =\rho\sin\varphi \\ \ z\ =\rho\cos\varphi \\ \ \theta\ =\ \ \ \ \theta\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ r =ρsinφ z =ρcosφ θ = θ ,则 x2+y2+z2=r2+z2=ρ2x^2+y^2+z^2=r^2+z^2=\rho^2x2+y2+z2=r2+z2=ρ2 。
综上可以看作一次变换,令 { x = ρsinφcosθ y = ρsinφsinθ z = ρcosφ\begin{cases}\ x\ =\ \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \ y\ =\ \rho\sin\varphi\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ \rho\cos\varphi\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ x = ρsinφcosθ y = ρsinφsinθ z = ρcosφ ,称为球面坐标变换,此时,x2+y2+z2=ρ2x^2+y^2+z^2=\rho^2x2+y2+z2=ρ2 。
这样建立的坐标系称为球面坐标系,得到的坐标 (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)(ρ,φ,θ) 称为 MMM 的球面坐标。
03 球面坐标系与球面坐标
球面坐标系与球面坐标一种记忆模式:
由 { x = rcosθ y = rsinθ r = ρsinφ z = ρcosφ\begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ r\ =\ \rho\sin\varphi \\ \ z\ =\ \rho\cos\varphi\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ x = rcosθ y = rsinθ r = ρsinφ z = ρcosφ 有 { x = ρsinφcosθ y = ρsinφsinθ z = ρcosφ\begin{cases}\ x\ =\ \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \ y\ =\ \rho\sin\varphi\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ \rho\cos\varphi\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ x = ρsinφcosθ y = ρsinφsinθ z = ρcosφ 称为球面坐标变换。
x2+y2+z2=ρ2 ⇒ x2+y2+z2=ρ 且 x2+y2+z2=R2 ⇒ ρ=Rx^2+y^2+z^2=\rho^2\ \ \Rightarrow\ \ \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\rho\ 且 \ x^2+y^2+z^2=R^2 \ \ \Rightarrow\ \ \rho=Rx2+y2+z2=ρ2 ⇒ x2+y2+z2=ρ 且 x2+y2+z2=R2 ⇒ ρ=R
球面坐标系与球面坐标代换总结:
若被积函数含有 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2x2+y2+z2 或立体 VVV 是球体或者球体的一部分,
一般是球面与锥面或球面与平面或锥面与平面围成的立体,用球面坐标变换。
04 球面坐标系下三个最简单的方程表示的曲面
(1) ρ=R (R⩾0,常数) 表示以 O 点为心, R 为半径的球面 ⇔ ρ2=R2 ⇔ x2+y2+z2=R2(2) φ=φ0 (0⩽φ0⩽π,常数) 表示一个半锥面,Oz轴正向与锥面母线的夹角为φ0该方程转化为空间直角坐标系为:x2+y2−z2tan2φ0=0(3) θ=θ0 (0⩽θ⩽2π 或−π⩽θ⩽π,常数) 表示 yOz 右半平面该方程转化为空间直角坐标系为:θ=π2 \begin{aligned} & (1)\ \rho=R\ \ (R\geqslant0,常数)\ 表示以\ O\ 点为心,\ R\ 为半径的球面 \ \Leftrightarrow\ \rho^2=R^2 \ \Leftrightarrow\ x^2+y^2+z^2=R^2 \\ & (2)\ \varphi=\varphi_0\ \ (0\leqslant\varphi_0\leqslant\pi,常数)\ 表示一个半锥面, Oz轴正向与锥面母线的夹角为\varphi_0\\ & \quad\quad该方程转化为空间直角坐标系为:x^2+y^2-z^2\tan^2\varphi_0=0\\ & (3)\ \theta=\theta_0\ \ (0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\ 或-\pi\leqslant\theta\leqslant\pi,常数)\ 表示\ yOz\ 右半平面 \\ & \quad\quad该方程转化为空间直角坐标系为:\theta=\frac{\pi}{2}\\ \end{aligned} (1) ρ=R (R⩾0,常数) 表示以 O 点为心, R 为半径的球面 ⇔ ρ2=R2 ⇔ x2+y2+z2=R2(2) φ=φ0 (0⩽φ0⩽π,常数) 表示一个半锥面,Oz轴正向与锥面母线的夹角为φ0该方程转化为空间直角坐标系为:x2+y2−z2tan2φ0=0(3) θ=θ0 (0⩽θ⩽2π 或−π⩽θ⩽π,常数) 表示 yOz 右半平面该方程转化为空间直角坐标系为:θ=2π
05 球面坐标变换下的三重积分
在 ∭Vf(x,y,z)dV\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d VV∭f(x,y,z)dV 中,用球面坐标变换 { x = ρsinφcosθ y = ρsinφsinθ z = ρcosφ\begin{cases}\ x\ =\ \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \ y\ =\ \rho\sin\varphi\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ \rho\cos\varphi\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ x = ρsinφcosθ y = ρsinφsinθ z = ρcosφ ,核心:寻找 dVdVdV 和 dθ dφ dρd\theta\ d\varphi\ d\rhodθ dφ dρ 的关系。
本质:对三重积分式进行两次柱面坐标积分变换。
第一次变换,令 { x = rcosθ y = rsinθ z = z\begin{cases}\ x\ =\ r\cos\theta \\ \ y\ =\ r\sin\theta \\ \ z\ =\ \ \ \ z\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ x = rcosθ y = rsinθ z = z ,则 ∭Vf(x,y,z)dV=∭Vrθzf(rcosθ,rsinθ,z)r dθ dr dz\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{V_{r\theta z}} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z)r\ d\theta\ dr\ dzV∭f(x,y,z)dV=Vrθz∭f(rcosθ,rsinθ,z)r dθ dr dz 。
第二次变换,令 { r =ρsinφ z =ρcosφ θ = θ\begin{cases}\ r\ =\rho\sin\varphi \\ \ z\ =\rho\cos\varphi \\ \ \theta\ =\ \ \ \ \theta\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ r =ρsinφ z =ρcosφ θ = θ ,则 ∭Vrθzf(rcosθ,rsinθ,z)r dθ dr dz=∭Vθφρf(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρsinφ⋅ρ dθ dφ dρ\iiint \limits_{V_{r\theta z}} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z)r\ d\theta\ dr\ dz=\iiint \limits_{V_{\theta\varphi\rho}} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta, \rho\cos\varphi)\rho\sin\varphi\cdot \rho\ d\theta\ d\varphi\ d\rhoVrθz∭f(rcosθ,rsinθ,z)r dθ dr dz=Vθφρ∭f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρsinφ⋅ρ dθ dφ dρ 。
综上,经过球面坐标变换,∭Vf(x,y,z)dV=∭Vθφρf(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφ dθ dφ dρ\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\iiint \limits_{V_{\theta\varphi\rho}} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta, \rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi\ d\theta\ d\varphi\ d\rhoV∭f(x,y,z)dV=Vθφρ∭f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφ dθ dφ dρ 。
要求上述积分化成球面坐标下的累次积分,先积 ρ\rhoρ,其次积 φ\varphiφ,最后积 θ\thetaθ 。
即对 ∀M(ρ,φ,θ)∈V\forall M(\rho,\varphi,\theta)\in V∀M(ρ,φ,θ)∈V,将坐标用不等式表示, V:ρ1(θ,φ)⩽ρ⩽ρ2(θ,φ) φ1(θ)⩽z⩽φ2(θ) α⩽θ⩽βV:\rho_1(\theta,\varphi)\leqslant\rho\leqslant\rho_2(\theta,\varphi)\\ \quad\ \ \varphi_1(\theta)\leqslant z\leqslant\varphi_2(\theta)\\ \quad\ \alpha\leqslant\theta\leqslant\betaV:ρ1(θ,φ)⩽ρ⩽ρ2(θ,φ) φ1(θ)⩽z⩽φ2(θ) α⩽θ⩽β (累次积分变换的核心),
则三重积分 ∭Vf(x,y,z)dV=∫αβdθ∫φ1(θ)φ2(θ)φdφ∫ρ1(θ,φ)ρ1(θ,φ)f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφdρ\iiint \limits_{V} f(x, y, z) d V=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}\varphi d\varphi \int_{\rho_1(\theta,\varphi)}^{\rho_1(\theta,\varphi)} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta, \rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi d\rhoV∭f(x,y,z)dV=∫αβdθ∫φ1(θ)φ2(θ)φdφ∫ρ1(θ,φ)ρ1(θ,φ)f(ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2sinφdρ .
接下来研究对于不等式表示的 θ\thetaθ 区域、φ\varphiφ 区域和 ρ\rhoρ 的取值如何确定。
对于 ∀M(ρ,φ,θ)∈V\forall M(\rho,\varphi,\theta)\in V∀M(ρ,φ,θ)∈V,先找出立体 VVV 在 xOyxOyxOy 平面上投影的的 σ\sigmaσ 区域,将该 σ\sigmaσ 区域处理成 θ\thetaθ 区域。
找出 σ\sigmaσ 在平面极坐标系下 θ\thetaθ 的范围 [α,β][\alpha,\beta][α,β],则 α⩽θ⩽β\alpha\leqslant\theta\leqslant\betaα⩽θ⩽β 。
平面极坐标下的射线 θ=θ\theta=\thetaθ=θ 与 OzOzOz 轴组成一个垂直于平面 xOyxOyxOy 的截面,记为平面 θOz\theta OzθOz 。
连接 OM∈θOzOM\in \theta OzOM∈θOz ,φ\varphiφ 的几何意义是由 OzOzOz 轴向 OMOMOM 旋转所得的夹角。
设射线 ONONON 最开始与 OzOzOz 轴重合,N∈θOzN\in\theta OzN∈θOz 恒成立,将射线 ONONON 从 OzOzOz 轴开始沿半平面 θOz\theta OzθOz 向 OMOMOM 旋转,
第一次接触立体 VVV 产生的交点,记此时的夹角 φ=φ1\varphi=\varphi_1φ=φ1;最后离开立体 VVV 的交点,记此时的夹角 φ=φ2\varphi=\varphi_2φ=φ2 。
显然有,φ1⩽φ⩽φ2\varphi_1\leqslant\varphi\leqslant\varphi_2φ1⩽φ⩽φ2 。在多数题目情况下,φ1\varphi_1φ1 为常数甚至为 000 。
于是,寻找清晰直观的平面进行研究,若 α⩽π2⩽β\alpha\leqslant\frac{\pi}{2}\leqslant\betaα⩽2π⩽β,θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}θ=2π( yOzyOzyOz 右半平面)与立体的截面找到求出范围。
线段 OMOMOM 与截面区域的边界有两个交点,分别对应大小不同的极径,
如果极径小的点始终落在同一个曲面上,则这个曲面称为下曲面 ρ=ρ1(θ,φ)\rho=\rho_1(\theta,\varphi)ρ=ρ1(θ,φ) ;
如果极径大的点始终落在同一个曲面上,则这个曲面称为上曲面 ρ=ρ2(θ,φ)\rho=\rho_2(\theta,\varphi)ρ=ρ2(θ,φ) 。
因此有,ρ1(θ,φ)⩽ρ⩽ρ2(θ,φ)\rho_1(\theta,\varphi)\leqslant\rho\leqslant\rho_2(\theta,\varphi)ρ1(θ,φ)⩽ρ⩽ρ2(θ,φ) 。