高等数学笔记-苏德矿-第九章-重积分(Ⅱ)-三重积分

高等数学笔记-苏德矿

第九章-重积分(Ⅱ)-三重积分

第三节 三重积分的概念和性质

一、三重积分的典例

01 一些基本概念

(1) 立体的体密度

(2) 求立体V的质量

设有界闭区域立体 $V$ 的密度 $\mu =f(x,y,z)$ 连续，求立体 $V$ 的质量。( 一个占据三维空间中区域 $Q$ 的几何体，其密度为 $f(x,y,z)$，那么其质量为多少? )

(3) 回顾定积分和二重积分的概念

求在三维区域上分布率非均匀的某种物理量 (或其它量) 的总量

分割—求和—求极限

02 推导过程

"分匀和精”

(1) 分割

用若干个曲面将立体 $V$ 分割成 $n$ 个小立体 $\Delta V_1,\Delta V_2,\cdots ,\Delta V_i，\cdots ,\Delta V_n$，

$\Delta V_i$ 的体积仍用 $\Delta V_i$ 表示，λ=max⁡{ λi:1⩽i⩽n}\lambda=\max \left\{\lambda_i:1\leqslant i\leqslant n\right\}λ=max{ λi​:1⩽i⩽n}

(2) 取近似

$\forall \left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\in \Delta V_i$，$\Delta M_i\approx f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i,i=1,2,\cdots ,n$

(3) 作和

$M=\sum _{i=1}^n\Delta M_i\approx \sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i$

(4) 取极限

$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i=M$

二、三重积分的概念

01 定义

设 $\Omega$ 是 $R^3$ 中的有界闭区域，函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上定义，$I$ 为实数，若将区域 $\Delta {\Omega }_1,\Delta {\Omega }_2,\cdots ,\Delta {\Omega }_n$，任取 $\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\in \Delta {\Omega }_i$，

作和 $\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i(\Delta V_i是\Delta {\Omega }_i的体积)$，总有下列极限存在且唯一（与立体的分法和点的取法无关）:

$\underset{i\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i,{\eta }_i,{\varsigma }_i\right)\Delta V_i=I$ ( 其中 λ=max⁡1≤i≤n{ di},di\lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n}\left\{d_{i}\right\}, d_{i}λ=1≤i≤nmax​{ di​},di​ 是小区域 $\Delta {\Omega }_i$ 的直径 )，

则称函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 可积，$I$ 称为 $f$ 在 $\Omega$ 的三重积分，记为： $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV(dV-体积元素)$

若 $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV$ 存在，则 $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$

02 物理意义

一种物理意义（三维物体的质量）

若 $f(x,y,z)$ 表示占有三维空间区域 $Q$ 的物体的质量密度函数，则

$\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV$ 给出了物体的质量。

若 $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV$ 存在，且 $f(x,y,z)⩾0$，则 $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV$ 表示密度为 $f(x,y,z)$ 立体 $V$ 的质量 $M$ 。

$\underset{\Omega }{\iiint }1dV=\underset{\Omega }{\iiint }dV=V$

03 可积的充分条件

若 $u=f(x,y,z)$ 在有界闭区域 $\Omega$ 上连续，则 $f(x,y,z)$ 在 $V$ 上可积，反之不成立。

三、三重积分的性质

• 具有二重积分所有性质，有线性、可加性、单调性和中值定理

• $\underset{\Omega }{\iiint }1dV=V_{\Omega }(\Omega 的体积)$

• 三重积分中值定理
  $$\begin{array}{rl}& 若f(x,y,z)在有界闭区域V上连续，则\exists P^{\ast }(x^{\ast },y^{\ast },z^{\ast })\in \Omega ，\\ & 使\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=f(x^{\ast },y^{\ast },z^{\ast })V，\\ & 即f(x^{\ast },y^{\ast },z^{\ast })=\frac{\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV}{V}，称为f(x,y,z)在V上的平均值\end{array}$$

第四节 三重积分的计算

一、在直角坐标系下的计算公式

直角坐标系下， $\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dV=\underset{\Omega }{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$ .

01 三类区域

(1) $xy$ 型区域

设立体 $V$ 是有界闭区域，垂直于 $xOy$ 平面（平行于 $Oz$ 轴）的任何一条直线与立体 $V$ 的边界曲面至多有两个交点（立体边界是母线平行于 $Oz$ 轴的柱面除外），称立体 $V$ 为 $xy$ 型区域。
V={ (x,y,z)∣z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y)  , (x,y)∈σxy}  或写成V: z1(x,y)⩽z⩽z2(x,y)(x,y)∈σxy \begin{aligned} & V=\left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x,y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x,y)\ \ ,\ (x,y)\in\sigma_{xy} \right\}\ \ 或写成\\ & V:\ z_{1}(x,y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x,y)\\ & \quad\quad\quad\quad (x,y)\in\sigma_{xy} \end{aligned} ​V={ (x,y,z)∣z1​(x,y)⩽z⩽z2​(x,y)  , (x,y)∈σxy​}  或写成V: z1​(x,y)⩽z⩽z2​(x,y)(x,y)∈σxy​​

把 $M$ 看成平面薄片 ${\sigma }_{xy}$ 的质量，任取一点 $(x,y)\in {\sigma }_{xy}$（该点对应的实际上是线段，此处将线段质量看作是该点的质量）
$$\mu (x,y)={\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$
则将三重积分转化为二重积分，有
∭Ωf(x,y,z)dV=∬σxyμ(x,y)dxdy=∬σxy[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dxdy=∬σxydxdy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz \begin{aligned} & \iiint \limits_{\Omega} f(x, y, z) d V=\iint \limits_{\sigma_{xy}}\mu(x,y)dxdy=\\ & \iint \limits_{\sigma_{xy}}[\int _{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz]dxdy=\iint \limits_{\sigma_{xy}}dxdy\int _{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz \end{aligned}