高等数学笔记-苏德矿-第十章 曲线积分和曲面积分-第五节-格林公式

高等数学笔记-苏德矿

第十章 曲线积分和曲面积分

第五节 格林公式

一、基本概念

01 闭曲线的方向

如果是非封闭曲线 ${\Gamma }_{AB}$ ，只需知道起点与终点，方向确定。

如果是封闭曲线 ${\Gamma }_{AB}$ ，知道起点与终点，方向仍无法确定，因此规定它的方向：

若 $\Gamma$ 是封闭曲线，包围的区域为 $D$，当一个人在 $\Gamma$ 上行走，如果 $\Gamma$ 所包围的区域始终在人的左肩这一边，

这个走向称为称为曲线 $\Gamma$ 的正向，记作 ${\Gamma }^{+}$；相反的方向称为负向，记作 ${\Gamma }^{-}$。

闭合曲线方向的左肩判别法：

若 $\Gamma$ 是封闭曲线，当一个人在 $\Gamma$ 上行走，如果 $\Gamma$ 所包围的区域始终在人的左肩这一边，

这个走向称为称为曲线 $\Gamma$ 的正向，相反的方向称为负向。

闭合曲线方向的传麟判别法：

设 $\Gamma$ 是钢丝围成的曲边形，当左利手$CCL$传麟一边写字一边在钢丝上走时，若写字所在的位置位于曲边形内部，

那么称 $CCL$ 走路的方向为正向，反之称负向。

02 连通

若集合 $E$ 中任意两点都能用完全属于 $E$ 的折线连接起来，则称 $E$ 是连通的。

03 单连通区域、复连通区域

苏德矿表述：设 $D\subset R^2$， 如果 $D$ 的内部没有“洞”，称 $D$ 为平面单连通区域，否则称 $D$ 为复连通区域。

​ ( 单连通，区域中任意一条封闭曲线能不越过 $E$ 的边界而连续收缩为一点 )

乐经良表述：若连通域 $D$ 内任意一条闭曲线所围成的区域都落在 $D$ 内，则称 $D$ 为单连通的，

​ 否则称 $D$ 为复连通的。

二、格林公式

01 格林公式

设 $P$，$Q$ 在封闭曲线 $\Gamma$ 包围的有界闭区域 $D$ 上连续且具有连续的一阶偏导数，

$D$ 的边界 $C$ 是分段光滑曲线，则有公式：( 二重积分与在其边界上的第二型曲线积分的关系 )

${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{[]}{\partial x}-\frac{[]}{\partial y}\right)dxdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$ ，其中沿 $\Gamma$ 正向。

记忆：兔子不吃窝边草。

02 证明的思路

三、平面曲线积分与路径无关的条件

定理（平面曲线第二类曲线积分与路径无关的四个等价条件）

若 $D$ 是平面单连通区域，且 $P$，$Q$ 在 $D$ 上连续且具有连续的一阶偏导数，则以下四个条件等价：

(1) 对 $D$ 中任一封闭曲线 $\Gamma$ 的第二类曲线积分为 $0$，即：${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy=0$ 。

(2) 对任给 ${\Gamma }_{ACB},{\Gamma }_{ADB}\subset D$，则：${\oint }_{{\Gamma }_{ACB}}Pdx+Qdy={\oint }_{{\Gamma }_{ADB}}Pdx+Qdy$ 。

​ 即在 $D$ 中非封闭曲线上的积分，只与起点与终点有关，与 $D$ 中的路径无关。

(3) 存在 $D$ 上的一个二元函数 $\mu (x,y)$，使 $du=Pdx+Qdy$，即 $\frac{\partial u}{\partial x}=P$ ， $\frac{\partial u}{\partial y}=Q$ 。

(4) $\forall (x,y)\in D$，都有 $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$ 。

四、第二类曲线积分的八种解题类型

【二曲线八欲王】利用格林公式与平面曲线积分与路径无关的四个等价条件，讨论下面类型。

(1) ${\oint }_{\Gamma }P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

若 $\Gamma$ 为封闭曲线，沿正向，${\oint }_{\Gamma }P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 。

首先需要求出 $\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial P}{\partial y}$ ，然后有以下三种不同情况的讨论：

① 若 $P$，$Q$ 在 $\Gamma$ 包围的区域 $D$ 上连续且具有连续的一阶偏导数，则使用格林公式：

${\oint }_{\Gamma }P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$ ( 要求二重积分容易计算 )

② 在 $\Gamma$ 包围的区域 $D$ 内部有”洞“（所谓”洞“，主要指的是 $P$，$Q$ 在该区域没有定义），

在”洞“的外部， $P$，$Q$ 的偏导数均连续且有 $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \underset{\partial y}{}$