高等数学笔记-苏德矿-第十章 曲线积分和曲面积分-第五节-格林公式

高等数学笔记-苏德矿

第十章 曲线积分和曲面积分

第五节 格林公式

一、基本概念

01 闭曲线的方向

如果是非封闭曲线 ${\Gamma }_{AB}$ ，只需知道起点与终点，方向确定。

如果是封闭曲线 ${\Gamma }_{AB}$ ，知道起点与终点，方向仍无法确定，因此规定它的方向：

若 $\Gamma$ 是封闭曲线，包围的区域为 $D$，当一个人在 $\Gamma$ 上行走，如果 $\Gamma$ 所包围的区域始终在人的左肩这一边，

这个走向称为称为曲线 $\Gamma$ 的正向，记作 ${\Gamma }^{+}$；相反的方向称为负向，记作 ${\Gamma }^{-}$。

闭合曲线方向的左肩判别法：

若 $\Gamma$ 是封闭曲线，当一个人在 $\Gamma$ 上行走，如果 $\Gamma$ 所包围的区域始终在人的左肩这一边，

这个走向称为称为曲线 $\Gamma$ 的正向，相反的方向称为负向。

闭合曲线方向的传麟判别法：

设 $\Gamma$ 是钢丝围成的曲边形，当左利手$CCL$传麟一边写字一边在钢丝上走时，若写字所在的位置位于曲边形内部，

那么称 $CCL$ 走路的方向为正向，反之称负向。

02 连通

若集合 $E$ 中任意两点都能用完全属于 $E$ 的折线连接起来，则称 $E$ 是连通的。

03 单连通区域、复连通区域

苏德矿表述：设 $D\subset R^2$， 如果 $D$ 的内部没有“洞”，称 $D$ 为平面单连通区域，否则称 $D$ 为复连通区域。

​ ( 单连通，区域中任意一条封闭曲线能不越过 $E$ 的边界而连续收缩为一点 )

乐经良表述：若连通域 $D$ 内任意一条闭曲线所围成的区域都落在 $D$ 内，则称 $D$ 为单连通的，

​ 否则称 $D$ 为复连通的。

二、格林公式

01 格林公式

设 $P$，$Q$ 在封闭曲线 $\Gamma$ 包围的有界闭区域 $D$ 上连续且具有连续的一阶偏导数，

$D$ 的边界 $C$ 是分段光滑曲线，则有公式：( 二重积分与在其边界上的第二型曲线积分的关系 )

${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{[]}{\partial x}-\frac{[]}{\partial y}\right)dxdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$ ，其中沿 $\Gamma$ 正向。

记忆：兔子不吃窝边草。

02 证明的思路

三、平面曲线积分与路径无关的条件

定理（平面曲线第二类曲线积分与路径无关的四个等价条件）

若 $D$ 是平面单连通区域，且 $P$，$Q$ 在 $D$ 上连续且具有连续的一阶偏导数，则以下四个条件等价：

(1) 对 $D$ 中任一封闭曲线 $\Gamma$ 的第二类曲线积分为 $0$，即：${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy=0$ 。

(2) 对任给 ${\Gamma }_{ACB},{\Gamma }_{ADB}\subset D$，则：${\oint }_{{\Gamma }_{ACB}}Pdx+Qdy={\oint }_{{\Gamma }_{ADB}}Pdx+Qdy$ 。

​ 即在 $D$ 中非封闭曲线上的积分，只与起点与终点有关，与 $D$ 中的路径无关。

(3) 存在 $D$ 上的一个二元函数 $\mu (x,y)$，使 $du=Pdx+Qdy$，即 $\frac{\partial u}{\partial x}=P$ ， $\frac{\partial u}{\partial y}=Q$ 。

(4) $\forall (x,y)\in D$，都有 $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$ 。

四、第二类曲线积分的八种解题类型

【二曲线八欲王】利用格林公式与平面曲线积分与路径无关的四个等价条件，讨论下面类型。

(1) ${\oint }_{\Gamma }P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

若 $\Gamma$ 为封闭曲线，沿正向，${\oint }_{\Gamma }P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 。

首先需要求出 $\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial P}{\partial y}$ ，然后有以下三种不同情况的讨论：

① 若 $P$，$Q$ 在 $\Gamma$ 包围的区域 $D$ 上连续且具有连续的一阶偏导数，则使用格林公式：

${\oint }_{\Gamma }P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$ ( 要求二重积分容易计算 )

② 在 $\Gamma$ 包围的区域 $D$ 内部有”洞“（所谓”洞“，主要指的是 $P$，$Q$ 在该区域没有定义），

在”洞“的外部， $P$，$Q$ 的偏导数均连续且有 $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$ ，

则 ${\oint }_{{\Gamma }^{+}}Pdx+Qdy={\oint }_{{\Gamma }_1^{+}}Pdx+Qdy,\Gamma ,{\Gamma }_1$ 包围同一些”洞“，同方向。

对结论进行证明：
$$\begin{array}{rl}& 证明:{\oint }_{{\Gamma }^{+}+{\Gamma }_1^{-}}Pdx+Qdy=\underset{D_1}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\underset{D_1}{\iint }0dxdy=0\\ & {\oint }_{{\Gamma }^{+}}Pdx+Qdy+{\oint }_{{\Gamma }_1^{-}}Pdx+Qdy=0\\ & {\oint }_{{\Gamma }^{+}}Pdx+Qdy-{\oint }_{{\Gamma }_1^{+}}Pdx+Qdy=0\\ & {\oint }_{{\Gamma }^{+}}Pdx+Qdy={\oint }_{{\Gamma }_1^{+}}Pdx+Qdy\end{array}$$
常用场景：
$$\begin{array}{rl}& P,Q分母为a{x}^2+b{y}^2(a>0,b>0,常数)\\ & 如\Gamma 包围原点O(0,0)，此时0为洞。\\ & 若不在O点时，\\ & P,Q偏导数连续且\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}\\ & 选取{\Gamma }_1：a{x}^2+b{y}^2=R^2(R>0，常数)\\ & 经常R=1，{\Gamma }_1与\Gamma 同方向\\ & 化成{\Gamma }_1上的第二类曲线积分。\\ & 此时分母a{x}^2+b{y}^2=R^2，化简后的P,Q表达式变得简单(科学瘦身)\\ & 此时，偏导数连续，可以用格林公式。\end{array}$$
③ 如果 $\Gamma$ 表示成参数方程简单化成一元函数的定积分容易积分，也可以直接计算。

(2) ${\int }_{{\Gamma }_{AB}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

${\int }_{{\Gamma }_{AB}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ ，其中， ${\Gamma }_{AB}$ 为平面上非封闭曲线。

首先需要求出 $\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial P}{\partial y}$ ，然后有以下三种不同情况的讨论：

① 如果 $(x,y)\in {\Gamma }_{AB}$，$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 连续，则在如图所示的区域 $D$ 上，$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 连续，

$\overrightarrow{AC}:y=y_0(x=x)特殊的参数方程\{\begin{array}{l}A:x_0\\ C:x_1\end{array}$ ，

$\overrightarrow{CB}:x=x_1(y=y)特殊的参数方程\{\begin{array}{l}C:y_0\\ B:y_1\end{array}$ 。
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{{\Gamma }_{AB}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)}Pdx+Qdy\\ & ={\int }_{\overrightarrow{AC}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy+{\int }_{\overrightarrow{CB}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\\ & ={\int }_{x_0}^{x_1}P(x,y_0)dx+{\int }_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y)dy\end{array}$$
② 若 $(x,y)\in {\Gamma }_{AB}$，$\frac{\partial Q}{\partial x}\not\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$ ，

${\int }_{{\Gamma }_{AB}}Pdx+Qdy={\int }_{{\Gamma }_{AB}+l}Pdx+Qdy-{\int }_{l}Pdx+Qdy$

其中 $l$ 要求为简单曲线，经常是有向直线段，前者用格林公式，后者直接计算。

③ 如果 ${\Gamma }_{AB}$ 可以表示成参数方程，化成参数的一元函数定积分，容易计算，也可以直接计算。

(3) 求 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 的原函数

回忆一元的原函数：若 $F^{\prime }(x)=f(x)$，称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

谈到二元的原函数：一定是一对函数的原函数，满足 $u=u(x,y),\frac{\partial u}{\partial x}=P(x,y),\frac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y)$ ，

​ 即满足 $dF(x)=f(x)dx\Rightarrow du=Pdx+Qdy$ 。

什么条件下 $P,Q$ 有原函数？

找到一个单连通区域 $D$，$P,Q$ 在 $D$ 上偏导数连续，且 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},(x,y)\in D$ 。

由路径无关行，知第③条成立，存在 $D$ 上的一个二元函数，使得：
$$\begin{array}{rl}& u(x,y)={\int }_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy+C\\ & ={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)dy+C\\ & 使得，du=Pdx+Qdy，即\frac{\partial u}{\partial x}=P,\frac{\partial u}{\partial y}=Q\end{array}$$
称 $u(x,y)$ 是 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 的 (全体) 原函数。

(4) 求全微分方程的通解

形如 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$，如果存在一个单连通区域 $D$，使 $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$ 连续，此时这个方程称为全微分方程。

由 (3) 知，$u(x,y)={\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)dy$，

由 $Pdx+Qdy=0$，$\iff du(x,y)=0$ $\iff u(x,y)=C(C常，C\in R)$

$\iff {\int }_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+{\int }_{y_0}^{y}Q(x,y)dy=C$ 是方程的通解。

全微分求积（全微分方程）

设函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 上在单连通区域 $D$ 有连续导数，且
$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$$
则 $Pdx+Qdy$ 是某个函数 $u$ 的全微分：
$$u(x,y)={\int }_{\left(x_0,y_0\right)}^{(x,y)}Pdx+Qdy\leftarrow (u的求法)$$
若 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 是某二元函数的的全微分，称方程 $Pdx+Qdy=0$ 为全微分方程。

求出原函数 $u$，则解为 $u=C$ 。
若 $P(x,y)\mathrm{d}\mathrm{x}+Q(x,y)\mathrm{d}\mathrm{y}$ 不是某二元函数的的全微分，方程 $Pdx+Qdy=0$ 的解法：

求出积分因子 $\mu$，使得方程化为 $\mu P(x,y)dx+\mu Q(x,y)dy=0$ 成为全微分方程。
$$\begin{array}{rl}& 常用积分因子:\frac{1}{x^2},\frac{1}{y^2},\frac{1}{xy},\frac{1}{x^2{y}^2},\frac{1}{x^2+y^2}\\ & 组合拼凑法:\\ & 例如，求解方程①\left(x-\sqrt{x^2+y^2}\right)dx=-ydy(分组结合凑成全微分，在过程中观察需要乘何因子)\\ & (xdx+ydy)-\sqrt{x^2+y^2}dx=0\Rightarrow d\left(x^2+y^2\right)-\sqrt{x^2+y^2}dx=0\\ & 乘什么使得后一项成全微分,前一项还是全微分?若将x^2+y^2看作u,应乘以\phi (u)\\ & 事实上只要各组都凑成全微分，方程就解出来了\\ & 求解方程②y(1+xy)dx+x(1-xy)dy=0\end{array}$$

(5) $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 中，求 $P,Q$ 中的字母常数

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 中，$P,Q$ 表达式里含有待求的字母常数，求这个字母常数。

找到一个单连通区域 $D$，$P,Q$ 在 $D$ 上偏导数连续，根据题目条件，验证 ①$\sim$③条中有一条成立，

从而第④条成立，即有 $\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv \frac{\partial P}{\partial y}$ ，从中求出字母常数的值。

(6) 第二类曲线积分的牛顿-莱布尼兹公式

若 $P,Q$ 在单连通区域 $D$ 上连续，${\Gamma }_{AB}\subset D$，且存在 $D$ 上的二元函数 $u(x,y)$，使 $du=Pdx+Qdy$，
$${\int }_{{\Gamma }_{AB}}Pdx+Qdy={\int }_{AB}du=u(x,y){|}_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)}=u(x_1,y_1)-u(x_0,y_0)$$

(7) 利用第二类曲线积分求面积

设有界闭区域 $D$ 的边界为 $\Gamma$ 沿正向，$D$ 的面积为 $S$，则 $S={\int }_{D}1d\sigma =\frac{1}{2}{\oint }_{{\Gamma }^{+}}-ydx+xdy$ 对右边直接计算。

(8) 物理应用

求一个质点 $M$ 在变力 $\vec{F}$ 作用沿曲线 ${\Gamma }_{AB}$ 由 $A$ 移动到 $B$ 所作的功 $W$，$W={\int }_{{\Gamma }_{AB}}(\vec{F}\cdot \overrightarrow{T^0})ds$ 。