本文详细介绍了反常积分的收敛性判别方法，包括比较判别法（保序性）和比阶判别法（比较判别法的极限形式），以及柯西判别法和阿贝尔-迪利克雷判别法。这些方法在判断无穷限广义积分和瑕积分的敛散性中起到关键作用，为理解和应用积分提供了理论基础。
繁星数学随想录·笔记卷
摘录卷
反常积分敛散性判别法
01 反常积分的比较判别法（保序性）
(1) 无穷限广义积分的比较判别法（保序性）
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有
\ f(x)\leqslant g(x)
\ , \ 则有\\
& \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\
& \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.}
\end{aligned}
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
(2) 瑕积分的比较判别法（保序性）
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有
\ f(x)\leqslant g(x)
\ , \ 则有\\
& \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\
& \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.}
\end{aligned}
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散.
02 反常积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
(1) 无穷限广义积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)≠0 , 且有limx→+∞f(x)g(x)=l , 则有 当 0<l<+∞ 时，∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 当 l=0 时，∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 l=+∞ 时，∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) , 则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0
\ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\
& \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛。} \\
& \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散。}\\
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积
\ , \ 且有x \rightarrow +\infty \ ,\ f(x)\sim g(x)
\ ,\\
& \quad \ \;则有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)=0 , 且有x→+∞limg(x)f(x)=l , 则有 当 0<l<+∞ 时，∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 当 l=0 时，∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 l=+∞ 时，∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) , 则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。
(2) 瑕积分的比阶判别法（比较判别法的极限形式）
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)≠0 , 且有limx→+∞f(x)g(x)=l , 则有 当 0<l<+∞ 时，∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 当 l=0 时，∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 l=+∞ 时，∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) , 则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0
\ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\
& \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛。} \\
& \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时，} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散。}\\
& 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积
\ , \ 且有x \rightarrow +\infty \ ,\ f(x)\sim g(x)
\ ,\\
& \quad \ \;则有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)=0 , 且有x→+∞limg(x)f(x)=l , 则有 当 0<l<+∞ 时，∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 当 l=0 时，∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 l=+∞ 时，∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) , 则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。
03 反常积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
(1) 无穷限广义积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽Kxp , 且 p>1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾Kxp , 且 p⩽1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 发散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\
& \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽xpK , 且 p>1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾xpK , 且 p⩽1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 发散。
(2) 瑕积分的柯西判别法（p积分在比较判别法上的应用）
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽K(b−x)p , 且 p<1 ,则 ∫abf(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾K(b−x)p , 且 p⩾1 ,则 ∫abf(x)dx 发散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\
& \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有 若 f(x)⩽(b−x)pK , 且 p<1 ,则 ∫abf(x)dx 收敛。 若 f(x)⩾(b−x)pK , 且 p⩾1 ,则 ∫abf(x)dx 发散。
04 反常积分的柯西判别法极限形式
(1) 无穷限广义积分的柯西判别法极限形式
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有limx→+∞xpf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p>1 ,则∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 0<l<⩽∞ , 且 p⩽1 ,则∫a+∞f(x)dx 发散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积
\ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^pf(x)=l
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0< l<\leqslant\infty \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞limxpf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p>1 ,则∫a+∞f(x)dx 收敛。 当 0<l<⩽∞ , 且 p⩽1 ,则∫a+∞f(x)dx 发散。
(2) 瑕积分的柯西判别法极限形式
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有limx→+∞(b−x)pf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p<1 ,则∫abf(x)dx 收敛。 当 0<l⩽+∞ , 且 p⩾1 ,则∫abf(x)dx 发散。
\begin{aligned}
& 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积
\ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} (b-x)^pf(x)=l
\ , \ 则有\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\
& \quad \ \; \text{当} \ 0< l\leqslant+\infty \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\
\end{aligned}
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞lim(b−x)pf(x)=l , 则有 当 0⩽l<+∞ , 且 p<1 ,则∫abf(x)dx 收敛。 当 0<l⩽+∞ , 且 p⩾1 ,则∫abf(x)dx 发散。
05 反常积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
(1) 无穷限广义积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫a+∞f(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫a+∞f(x)dx 收敛 , g(x)在[a,+∞)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(A)=∫aAf(x)dx在[a,+∞)上有界 , g(x)在[a,+∞)上单调且limx→+∞g(x)=0
\begin{aligned}
& 若函数满足下列两个条件之一
\ , \ 则\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) dx\ 收敛\\
& \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{+\infty} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调有界\\
& \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(A)=\int_{a}^{A} f(x) d x 在 [a,+\infty) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调且 \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0\\
\end{aligned}
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫a+∞f(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫a+∞f(x)dx 收敛 , g(x)在[a,+∞)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(A)=∫aAf(x)dx在[a,+∞)上有界 , g(x)在[a,+∞)上单调且x→+∞limg(x)=0
(2) 瑕积分的阿贝尔-迪利克雷判别法（A-D判别法）
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫abf(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫abf(x)dx 收敛 , g(x)在[a,b)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(η)=∫ab−ηf(x)dx在[a,b)上有界 , g(x)在[a,b)上单调且limx→b−g(x)=0
\begin{aligned}
& 若函数满足下列两个条件之一
\ , \ 则\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx\ 收敛\\
& \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{b} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调有界\\
& \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(\eta)=\int_{a}^{b-\eta} f(x) d x 在 [a,b) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调且 \lim _{x \rightarrow b^-} g(x)=0\\
\end{aligned}
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫abf(x)g(x)dx 收敛 (阿贝尔判别法) ∫abf(x)dx 收敛 , g(x)在[a,b)上单调有界 (迪利克雷判别法) F(η)=∫ab−ηf(x)dx在[a,b)上有界 , g(x)在[a,b)上单调且x→b−limg(x)=0
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