高等数学笔记:反常积分敛散性判别法

本文详细介绍了反常积分的收敛性判别方法,包括比较判别法(保序性)和比阶判别法(比较判别法的极限形式),以及柯西判别法和阿贝尔-迪利克雷判别法。这些方法在判断无穷限广义积分和瑕积分的敛散性中起到关键作用,为理解和应用积分提供了理论基础。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

繁星数学随想录·笔记卷

摘录卷

反常积分敛散性判别法

01 反常积分的比较判别法(保序性)

(1) 无穷限广义积分的比较判别法(保序性)
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散. \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有 \ f(x)\leqslant g(x) \ , \ 则有\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.} \end{aligned}  f(x)  g(x)  [a,+]  , a>0 ,  f(x)g(x) , a+g(x)dx 收敛a+f(x)dx 收敛.a+f(x)dx 发散a+g(x)dx 发散.
(2) 瑕积分的比较判别法(保序性)
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , 且有 f(x)⩽g(x) , 则有∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛.∫a+∞f(x)dx 发散⇒∫a+∞g(x)dx 发散. \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ 且有 \ f(x)\leqslant g(x) \ , \ 则有\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛.} \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散.} \end{aligned}  f(x)  g(x)  [a,+]  , a>0 ,  f(x)g(x) , a+g(x)dx 收敛a+f(x)dx 收敛.a+f(x)dx 发散a+g(x)dx 发散.

02 反常积分的比阶判别法(比较判别法的极限形式)

(1) 无穷限广义积分的比阶判别法(比较判别法的极限形式)
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)≠0 , 且有lim⁡x→+∞f(x)g(x)=l , 则有   当 0<l<+∞ 时,∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。   当 l=0 时,∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。   当 l=+∞ 时,∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) ,   则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时,} \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\ & \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时,} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛。} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时,} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散。}\\ & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有x \rightarrow +\infty \ ,\ f(x)\sim g(x) \ ,\\ & \quad \ \;则有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\ \end{aligned}  f(x)  g(x)  [a,+]  , a>0 , g(x)=0 , x+limg(x)f(x)=l ,   0<l<+ 时,a+f(x)dx a+g(x)dx 同敛散。  l=0 时,a+g(x)dx 收敛a+f(x)dx 收敛。  l=+ 时,a+g(x)dx 发散a+f(x)dx 发散。 f(x)  g(x)  [a,+]  , x+ , f(x)g(x) , a+f(x)dx a+g(x)dx 同敛散。
(2) 瑕积分的比阶判别法(比较判别法的极限形式)
若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , a>0 , g(x)≠0 , 且有lim⁡x→+∞f(x)g(x)=l , 则有   当 0<l<+∞ 时,∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。   当 l=0 时,∫a+∞g(x)dx 收敛⇒∫a+∞f(x)dx 收敛。   当 l=+∞ 时,∫a+∞g(x)dx 发散⇒∫a+∞f(x)dx 发散。若函数 f(x) 与 g(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有x→+∞ , f(x)∼g(x) ,   则有∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ a>0 \ , \ g(x)\neq 0 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时,} \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\ & \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时,} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{收敛} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{收敛。} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时,} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{发散} \Rightarrow \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{发散。}\\ & 若函数\ f(x)\ 与\ g(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有x \rightarrow +\infty \ ,\ f(x)\sim g(x) \ ,\\ & \quad \ \;则有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ \text{与} \int_{a}^{+\infty}g(x)dx\ \text{同敛散。}\\ \end{aligned}  f(x)  g(x)  [a,+]  , a>0 , g(x)=0 , x+limg(x)f(x)=l ,   0<l<+ 时,a+f(x)dx a+g(x)dx 同敛散。  l=0 时,a+g(x)dx 收敛a+f(x)dx 收敛。  l=+ 时,a+g(x)dx 发散a+f(x)dx 发散。 f(x)  g(x)  [a,+]  , x+ , f(x)g(x) , a+f(x)dx a+g(x)dx 同敛散。

03 反常积分的柯西判别法(p积分在比较判别法上的应用)

(1) 无穷限广义积分的柯西判别法(p积分在比较判别法上的应用)
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有   若 f(x)⩽Kxp  , 且 p>1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 收敛。   若 f(x)⩾Kxp  , 且 p⩽1 ,则 ∫a+∞f(x)dx 发散。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数 \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{x^p} \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned}  f(x)  [a,+]  , K ,   f(x)xpK  ,  p>1 , a+f(x)dx   f(x)xpK  ,  p1 , a+f(x)dx 
(2) 瑕积分的柯西判别法(p积分在比较判别法上的应用)
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , K是任意正常数 , 则有   若 f(x)⩽K(b−x)p  , 且 p<1 ,则 ∫abf(x)dx 收敛。   若 f(x)⩾K(b−x)p  , 且 p⩾1 ,则 ∫abf(x)dx 发散。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ K 是任意正常数 \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\leqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{若} \ f(x)\geqslant\frac{K}{(b-x)^p} \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \ \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned}  f(x)  [a,+]  , K ,   f(x)(bx)pK  ,  p<1 , abf(x)dx   f(x)(bx)pK  ,  p1 , abf(x)dx 

04 反常积分的柯西判别法极限形式

(1) 无穷限广义积分的柯西判别法极限形式
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有lim⁡x→+∞xpf(x)=l , 则有   当 0⩽l<+∞  , 且 p>1 ,则∫a+∞f(x)dx 收敛。   当 0<l<⩽∞  , 且 p⩽1 ,则∫a+∞f(x)dx 发散。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^pf(x)=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p>1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0< l<\leqslant\infty \ \ , \ 且 \ p\leqslant1 \ , 则 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned}  f(x)  [a,+]  , x+limxpf(x)=l ,   0l<+  ,  p>1 ,a+f(x)dx   0<l<  ,  p1 ,a+f(x)dx 
(2) 瑕积分的柯西判别法极限形式
若函数 f(x) 在 [a,+∞] 上非负可积 , 且有lim⁡x→+∞(b−x)pf(x)=l , 则有   当 0⩽l<+∞  , 且 p<1 ,则∫abf(x)dx 收敛。   当 0<l⩽+∞  , 且 p⩾1 ,则∫abf(x)dx 发散。 \begin{aligned} & 若函数\ f(x)\ 在\ [a,+\infty] \ 上非负可积 \ , \ 且有\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} (b-x)^pf(x)=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<+\infty \ \ , \ 且 \ p<1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 收敛。\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0< l\leqslant+\infty \ \ , \ 且 \ p\geqslant1 \ , 则 \int_{a}^{b}f(x)dx\ 发散。\\ \end{aligned}  f(x)  [a,+]  , x+lim(bx)pf(x)=l ,   0l<+  ,  p<1 ,abf(x)dx   0<l+  ,  p1 ,abf(x)dx 

05 反常积分的阿贝尔-迪利克雷判别法(A-D判别法)

(1) 无穷限广义积分的阿贝尔-迪利克雷判别法(A-D判别法)
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫a+∞f(x)g(x)dx 收敛   (阿贝尔判别法) ∫a+∞f(x)dx 收敛 , g(x)在[a,+∞)上单调有界   (迪利克雷判别法) F(A)=∫aAf(x)dx在[a,+∞)上有界 , g(x)在[a,+∞)上单调且lim⁡x→+∞g(x)=0 \begin{aligned} & 若函数满足下列两个条件之一 \ , \ 则\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) dx\ 收敛\\ & \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{+\infty} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调有界\\ & \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(A)=\int_{a}^{A} f(x) d x 在 [a,+\infty) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,+\infty) 上单调且 \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0\\ \end{aligned}  , a+f(x)g(x)dx  () a+f(x)dx  , g(x)[a,+) () F(A)=aAf(x)dx[a,+) , g(x)[a,+)x+limg(x)=0
(2) 瑕积分的阿贝尔-迪利克雷判别法(A-D判别法)
若函数满足下列两个条件之一 , 则∫abf(x)g(x)dx 收敛   (阿贝尔判别法) ∫abf(x)dx 收敛 , g(x)在[a,b)上单调有界   (迪利克雷判别法) F(η)=∫ab−ηf(x)dx在[a,b)上有界 , g(x)在[a,b)上单调且lim⁡x→b−g(x)=0 \begin{aligned} & 若函数满足下列两个条件之一 \ , \ 则\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx\ 收敛\\ & \quad \ \; (阿贝尔判别法)\ \int_{a}^{b} f(x) dx\ 收敛 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调有界\\ & \quad \ \; (迪利克雷判别法)\ F(\eta)=\int_{a}^{b-\eta} f(x) d x 在 [a,b) 上有界 \ , \ g(x) 在 [a,b) 上单调且 \lim _{x \rightarrow b^-} g(x)=0\\ \end{aligned}  , abf(x)g(x)dx  () abf(x)dx  , g(x)[a,b) () F(η)=abηf(x)dx[a,b) , g(x)[a,b)xblimg(x)=0

评论 2
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值