高等数学笔记-乐经良老师-第二章-极限与连续-第三节-数列极限存在的判别准则

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这篇笔记介绍了高等数学中数列极限的两个重要判别准则：夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。夹逼准则表明，如果一个数列被两个趋近于同一极限的数列夹在中间，那么该数列也趋向于相同的极限。单调有界数列，无论是单调增加还是单调减少，只要存在上界或下界，其极限一定存在。此外，笔记还详细证明了e的定义，即(1+1/n)^n当n趋向无穷大时的极限，展示了一个重要的极限定理。

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高等数学笔记-乐经良老师

第二章极限与连续

第三节数列极限存在的判别准则

一、夹逼准则

若 $∃N\exists N$ , 当 $y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}$ , 且 $lim⁡n→∞yn=lim⁡n→∞zn=A⇒lim⁡n→∞xn=A\lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} z_{n}=A \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$
注意 $A = 0$ 的情况

二、单调有界数列极限存在准则

01 单调有界数列极限存在准则

若数列 ${xn}\left\{x_{n}\right\}$ 单调增加且有上界，则 ${xn}\left\{x_{n}\right\}$ 有极限
若数列 ${xn}\left\{x_{n}\right\}$ 单调减少且有下界，则 ${xn}\left\{x_{n}\right\}$ 有极限

02 一个重要极限

$xn=(1+1n)nx_{n}=(1+\frac1n)^{n}$
证明方法
- $xn=(1+1n)n=1+Cn1⋅1n+Cn2⋅1n2+Cn3⋅1n3+⋯+Cnn⋅1nn=1+1+12!(1−1n)+13!(1−1n)(1−2n)+⋯+1n!(1−1n)(1−2n)…(1−n−1n)\begin{aligned} &x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1+C_{n}^{1} \cdot \frac{1}{n}+C_{n}^{2} \cdot \frac{1}{n^{2}}+C_{n}^{3} \cdot \frac{1}{n^{3}}+\cdots+C_{n}^{n} \cdot \frac{1}{n^{n}} \\ &=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots\left(1-\frac{n-1}{n}\right) \end{aligned}$
- 根据（1）与 $x_{n+1}$ 比较, 导出单调增加；（2）适当放大, 导出有界性，得出极限存在
- $y_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \text { 单减 }$
记号： $e=lim⁡n→∞(1+1n)ne=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}(1+\frac1n)^{n}$

最后

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