高等数学笔记-乐经良老师-第二章-极限与连续-第三节-数列极限存在的判别准则

这篇笔记介绍了高等数学中数列极限的两个重要判别准则：夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。夹逼准则表明，如果一个数列被两个趋近于同一极限的数列夹在中间，那么该数列也趋向于相同的极限。单调有界数列，无论是单调增加还是单调减少，只要存在上界或下界，其极限一定存在。此外，笔记还详细证明了e的定义，即(1+1/n)^n当n趋向无穷大时的极限，展示了一个重要的极限定理。

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高等数学笔记-乐经良老师

第二章极限与连续

第三节数列极限存在的判别准则

一、夹逼准则

若 $∃N\exists N$ , 当 $y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}$ , 且 $lim⁡n→∞yn=lim⁡n→∞zn=A⇒lim⁡n→∞xn=A\lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} z_{n}=A \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$
注意 $A = 0$ 的情况

二、单调有界数列极限存在准则

01 单调有界数列极限存在准则

若数列 ${xn}\left\{x_{n}\right\}$ 单调增加且有上界，则 ${xn}\left\{x_{n}\right\}$ 有极限
若数列 ${xn}\left\{x_{n}\right\}$ 单调减少且有下界，则 ${xn}\left\{x_{n}\right\}$ 有极限

02 一个重要极限

$xn=(1+1n)nx_{n}=(1+\frac1n)^{n}$
证明方法
- $xn=(1+1n)n=1+Cn1⋅1n+Cn2⋅1n2+Cn3⋅1n3+⋯+Cnn⋅1nn=1+1+12!(1−1n)+13!(1−1n)(1−2n)+⋯+1n!(1−1n)(1−2n)…(1−n−1n)\begin{aligned} &x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=1+C_{n}^{1} \cdot \frac{1}{n}+C_{n}^{2} \cdot \frac{1}{n^{2}}+C_{n}^{3} \cdot \frac{1}{n^{3}}+\cdots+C_{n}^{n} \cdot \frac{1}{n^{n}} \\ &=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots\left(1-\frac{n-1}{n}\right) \end{aligned}$
- 根据（1）与 $x_{n+1}$ 比较, 导出单调增加；（2）适当放大, 导出有界性，得出极限存在
- $y_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \text { 单减 }$
记号： $e=lim⁡n→∞(1+1n)ne=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}(1+\frac1n)^{n}$

最后

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😊熊曰：呋食食雜森哮嗥註魚吃呱山萌萌笨有哞魚既魚性蜜覺呆食哮性洞哮山噗眠嗥嚄萌洞擊嗄襲呱物人你
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