高等数学笔记-乐经良老师-第二章-极限与连续-第五节-函数的连续

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本文详细介绍了高等数学中函数连续性的概念，包括连续的定义、几何解释、间断点的分类（第一类与第二类）、连续函数的运算（四则法则与复合函数），并探讨了初等函数的连续性特性。此外，还涉及了函数的单侧连续和在区间上的连续定义。

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高等数学笔记-乐经良老师

第二章极限与连续

第五节函数的连续

一、连续的概念

01 连续

连续的定义
- $lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$
  则称 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 连续, 否则称 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 间断
几何解释
- 几何上很直观：反映曲线“连”或“断”
- 连续
- 间断
连续意味着：
- (1) $lim⁡x→x0f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在——极限存在
- (2) $f(x_0)$ 存在——函数值存在
- (3) $lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$ ——极限值 = 函数值
关于连续的分析
- 记 $Δx=x−x0\Delta x=x-x_{0}$ , 为自变量的增量
  相应有 $Δf=f(x)−f(x0)\Delta f=f(x)-f\left(x_{0}\right)$ 为函数的增量, 则
  $f$ 在 $x_{0}$ 连续 $⇔lim⁡Δx→0Δf=0\Leftrightarrow \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta f=0$
- 说明在连续处, 当自变量变化 $→0\rightarrow 0$ , 函数值变化也→ 0

02 单侧连续

右连续： $lim⁡x→x0+f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^+} f(x)$ 则称 $f (x)$ 在 $x_0$ 右连续
左连续：自己写
命题
- $f (x)$ 在 $x_0$ 连续 $⇔\Leftrightarrow$
- $f (x)$ 在 $x_0$ 左连续且右连续 $⇔\Leftrightarrow$
- $lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=f(x0)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f\left(x_{0}\right)$

03 函数在区间上的连续

函数在区间上的连续
若 $f (x)$ 在区间 $I$ 内每点连续, 且在 $I$ 的闭端点单侧连续, 称 $f$ 在区间 $I$ 连续, 记为： $\in C(I)$
注意在**闭端点是单侧**连续
我们已有： $sin⁡x∈C(−∞,+∞),cosx∈C(−∞,+∞),ln⁡x∈C(0,+∞),ax∈C(R)\sin x \in C(-\infty,+\infty), \quad cos x \in C(-\infty,+\infty), \quad \ln x \in C(0,+\infty), \quad a^{x} \in C(\mathbf{R})$

二、间断点的分类

01 第一类间断点

$lim⁡x→x0+f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$ 与 $lim⁡x→x0−f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$ 均存在
情况1：可去间断点
- $lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0−f(x)≠f(x0)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)≠f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义
情况2：跳跃间断点
- $lim⁡x→x0+f(x)≠lim⁡x→x0−f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)≠\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$

02 第二类间断点

$lim⁡x→x0+f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$ 与 $lim⁡x→x0−f(x)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$ 至少一个不存在
无穷型
- $lim⁡x→x0f(x)=∞\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty$ ，称 $x_0$ 为无穷间断点
其他型
- 例如： $x=0f(x)=\sin \frac{1}{x} \text { 在 } x=0$

三、连续函数的运算

01 四则运算

若 $f (x), g (x)$ 在 $x_{0}$ 连续, 则 $\pm g(x), f(x) g(x)$ $\quad\left(g\left(x_{0}\right) \neq 0\right)$ 在 $x_{0}$ 也连续

02 复合运算

若 $g (x)$ 在 $x_{0}$ 连续, $f (u)$ 在 $u0=g(x0)u_{0}=g\left(x_{0}\right)$ 连续, 则复合函数 $f (g (x))$ 在 $x_{0}$ 连续
这意味着此时： $lim⁡x→x0f(g(x))=f(lim⁡x→x0g(x))=f(g(x0))\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(g(x))=f\left(\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)\right)=f\left(g\left(x_{0}\right)\right)$
极限号可以通过函数符号

02 反函数

若 $f (x)$ 在区间I严格单调连续, 则其反函数 $f^{-1}(x)$ 在 $f$ 的值域 $R (f)$ 也严格单调连续
例如，由于 $sin⁡x\sin x$ 在 $[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 严格单调连续, 可知 $arcsin⁡x\arcsin x$ 在 $[- 1, 1]$ 连续

四、初等函数的连续性

定理
- 初等函数 $f (x)$ 在定义域内连续， $lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)$

最后

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