HDU 5001 Walk （2014年鞍山赛区网络赛E题）

本博客详细介绍了如何利用矩阵快速幂和概率动态规划来解决HDU 5001 Walk的ACM网络赛题目。通过构建状态转移图，将一步转移概率矩阵设为A，初始出发点选择矩阵为B，求解d步内无法到达特定结点u的概率。在处理过程中，将与u相关的转移概率置零，形成马氏链，并计算A^d。最终，通过B * (A^d)得到概率矩阵，计算出总概率并求和，得出目标答案。总时间复杂度为O(N^4logd)。

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1.题目描述：点击打开链接

2.解题思路：本题利用矩阵快速幂+概率dp解决。根据题意可以画出来一个状态转移图，根据状态转移图不难得到一步转移概率矩阵，接下来的问题是：如何求解d步之内（包括d）均无法从其他点走到结点u的概率。

首先，既然无法到达结点u，那么出发的时候就不能选择该点。其次，为了使其他结点也无法到达结点u，可以将一步转移概率矩阵中跟结点u有关的概率全部置零。即表示u结点出发无法到达其他结点，其他结点也均无法到达u结点，这样就相当于把u结点从状态转移图中暂时删去了。然后根据马氏链的知识，假设一步转移概率矩阵为A，那么d步转移概率矩阵为A^d。再考虑到选择出发点也构成一个矩阵B，那么最终d步时候的概率矩阵为B=B*(A^d)。最终得到的B矩阵中的B[i][j]即为i经过d步走到j的概率。

这里有一个小技巧，为了便于计算B矩阵，可以在初始化的时候只将第0行的每个结点都置为1/n（结点i仍然置零），表示结点j被选为出发点的概率，这样，最终计算出的B矩阵也只在第0行有结果，表示其他点到达结点j的概率，最后，只需要把这些概率求和，即可得到到达除结点i之外其他结点的概率，即不到达结点i的概率。

本题的时间复杂度为O(N^4logd)。

3.代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<functional>
using namespace std;

#define me(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define pb push_back
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair <int, int> P;


const int N = 10000 + 10;
int n, m, d;
struct Node
{
	double v[55][55];
	void init()
	{
		memset(v, 0, sizeof(v));
	}
	Node operator*(Node r)
	{
		Node ans;
		ans.init();
		for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
		for (int k = 0; k < n; k++)
			ans.v[i][j] += v[i][k] * r.v[k][j];
		return ans;
	}
}a;

Node operator^(Node m, int d)
{
    Node ans;
    ans.init();
    for(int i=0;i<n;i++)ans.v[i][i]=1;
    while(d>0)
    {
        if(d&1)ans=ans*m;
        m=m*m;
        d>>=1;
    }
    return ans;
}


int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while (T--)
	{
		scanf("%d%d%d", &n, &m, &d);
		int u, v;
		vector<int>g[N];
		for (int i = 0; i<m; i++)
		{
			scanf("%d%d", &u, &v);
			u--;v--;
			g[u].push_back(v);
			g[v].push_back(u);
		}
		a.init();
		for (int i = 0; i < n; i++)
		if (!g[i].empty())
		{
			int len = g[i].size();
			for (int j = 0; j<len; j++)
			{
				int id = g[i][j];
				a.v[i][id] = (double)1.0 / len;//求一步转移概率矩阵
			}
		}
		for(int i=0;i<n;i++)
        {
            Node tmp=a;
            for(int j=0;j<n;j++)
                tmp.v[i][j]=tmp.v[j][i]=0;//将与结点i有关的概率暂时置零
            Node ans;
            ans.init();
            for(int j=0;j<n;j++)
                ans.v[0][j]=1.0/n;
            ans.v[0][i]=0;  //不从结点i出发
            ans=ans*(tmp^d);
            double res=0;
            for(int j=0;j<n;j++)
                res+=ans.v[0][j];//求和，得到d步之内均不经过结点i的概率
            printf("%.10lf\n",res);
        }
	}
}