6.1 定积分的应用

 

第六章：定积分的应用

第一节：定积分的元素法

定积分在实际问题中的应用

定积分的应用主要是解决与几何和物理问题相关的实际问题。通过定积分，我们可以精确计算曲线围成的面积、物体的质量分布、物理场的总效果等。本章将通过定积分的元素法来探讨如何将一个量表达为定积分的形式，这不仅有助于理解定积分的计算方法，也强调了分析问题的方法论。

元素法的基本概念

元素法是在定积分的应用中一种常用的方法，其基本思想是将所研究的量分解成无穷小的元素，然后通过求和并取极限得到整体量的精确值。以下是具体步骤和示例：

曲边梯形的面积问题

• 问题描述：考虑一个以曲线 𝑦=𝑓(𝑥)y=f(x) 为边界，底边为区间 [𝑎,𝑏][a,b] 的曲边梯形，我们要求这个曲边梯形的面积 𝐴A。

• 面积表示为定积分：

  • 分割区间：首先将区间 [𝑎,𝑏][a,b] 分割成 𝑛n 个等间距的小区间，每个小区间长度为 Δ𝑥Δx。
  • 小区间的面积：对于每个小区间，计算其对应的小曲边梯形的面积 Δ𝐴ΔA，近似为 𝑓(𝜉𝑖)Δ𝑥f(ξi​)Δx，其中 𝜉𝑖ξi​ 是小区间的某个点。
  • 面积的近似和：将所有小曲边梯形的面积求和，得到整个曲边梯形的近似面积。
  • 取极限：当 Δ𝑥Δx 趋向于0时，这个和的极限就是曲边梯形的面积 𝐴A，表达为定积分 𝐴=∫𝑎𝑏𝑓(𝑥) 𝑑𝑥A=∫ab​f(x)dx。

量的元素法表示

在实际问题中，若一个量 𝑈U 满足以下条件，就可以用定积分表示：

1. 与变量 𝑥x 的一个区间 [𝑎,𝑏][a,b] 相关；
2. 具有可加性：即如果把区间 [𝑎,𝑏][a,b] 分成若干小区间，𝑈U 可以表示为这些小区间上量的总和；
3. 局部量的近似表示：对于小区间 [𝑥,𝑥+𝑑𝑥][x,x+dx]，局部量 Δ𝑈ΔU 可以近似表示为 𝑓(𝑥)𝑑𝑥f(x)dx。

应用定积分

• 选择变量和区间：根据问题具体情况确定积分变量和区间。
• 局部量的近似：在选定的小区间上计算局部量 Δ𝑈ΔU 的近似值。
• 积分计算：将 𝑓(𝑥)𝑑𝑥f(x)dx 作为被积函数，在 [𝑎,𝑏][a,b] 上进行定积分，计算总量 𝑈U。

结论

元素法不仅提供了一种强大的工具来处理定积分问题，也帮助我们从基本原理出发，逐步建立起对问题的全面理解。通过逐步细化问题到微小元素，我们能够通过定积分的框架精确地描述和计算复杂的实际问题。在后续章节中，我们将具体应用这一方法来探讨几何和物理中的一些具体问题。