第五章慕课幂模运算的算法实现

夏驰和徐策

已于 2024-01-04 15:50:36 修改

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分类专栏：密码编码学与网络安全——原理与实践习题库文章标签：算法网络安全密码学

于 2024-01-03 12:44:18 首次发布

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用Java语言实现幂模运算的算法

我的答案：

一、信息（题目的有用信息）

幂模运算：是计算 bemodm 的过程，其中 b 是底数，e 是指数，m 是模数。

二、分析

作用：幂模运算在密码学和大数计算中非常重要，特别是在公钥加密和数字签名算法中。
思考过程：考虑到大数的直接幂运算会导致非常大的数字，直接计算是不实际的。需要一种高效的算法来处理大数的幂模运算。
分析过程：快速幂算法是解决此问题的有效方法。通过将指数分解为二进制形式，并使用平方法来减少计算步骤，可以有效地计算出结果。

三、算法设计

输入：三个整数，底数 b、指数 e 和模数 m。
处理：
- 初始化结果为1。
- 当指数大于0时：
  - 如果指数是奇数，将当前底数乘入结果，并取模。
  - 每次将底数自乘（即平方）并取模。
  - 将指数除以2（即向右移一位）。
输出：mod bemodm 的结果。

四、代码实现

函数类 ModularExponentiation.java

import java.math.BigInteger;

public class ModularExponentiation {

    public static BigInteger modExp(BigInteger base, BigInteger exponent, BigInteger modulus) {
        BigInteger result = BigInteger.ONE;

        base = base.mod(modulus);

        while (exponent.compareTo(BigInteger.ZERO) > 0) {
            // If the exponent is odd, multiply the base with the result
            if (exponent.mod(BigInteger.TWO).compareTo(BigInteger.ONE) == 0)
                result = result.multiply(base).mod(modulus);

            // Square the base
            base = base.multiply(base).mod(modulus);

            // Exponent divided by 2
            exponent = exponent.shiftRight(1);
        }
        return result;
    }
}

测试类 ModularExponentiationTest.java

import java.math.BigInteger;

public class ModularExponentiationTest {
    public static void main(String[] args) {
        BigInteger base = new BigInteger("7");
        BigInteger exponent = new BigInteger("256");
        BigInteger modulus = new BigInteger("13");

        BigInteger result = ModularExponentiation.modExp(base, exponent, modulus);
        System.out.println("7^256 mod 13 = " + result);  // Expected output: 10
    }
}

运行结果：

五、实现代码过程中可能遇到的问题

数据类型限制：对于非常大的数，基本数据类型如 int 或 long 可能不足以容纳。这就是为什么在这里使用 BigInteger。
效率问题：对于极大的指数，算法的执行时间可能变得较长。虽然快速幂算法已经相当高效，但对于特别大的数，仍然需要考虑性能优化。
参数验证：实际应用中需要验证输入参数的有效性，如模数不应为0或负数，以及其他潜在的边界条件。
安全性问题：在密码学应用中，算法的实现细节可能导致安全漏洞。例如，不恰当的处理可能会引入时序攻击的风险。

慕课提供的代码：





import java.math.BigInteger;

public class ModPowAlgorithmExample {
public static void main(String[] args) {
BigInteger a = new BigInteger("5");
BigInteger b = new BigInteger("3");
BigInteger m = new BigInteger("7");

BigInteger res = modPow(a, b, m);
System.out.println(res); //  输出 6 ，因为 5^3 mod 7 = 6
}

/**
*  计算幂模 a^b mod m   的值
*/
public static BigInteger modPow(BigInteger a, BigInteger b, BigInteger m) {
if (m.equals(BigInteger.ONE)) {
return BigInteger.ZERO;
}

BigInteger res = BigInteger.ONE;
a = a.mod(m);

while (!b.equals(BigInteger.ZERO)) {
if (b.and(BigInteger.ONE).equals(BigInteger.ONE)) {
res = res.multiply(a).mod(m);
}
b = b.shiftRight(1);
a = a.multiply(a). mod(m);
}

return res;
}
}