Leetcode 509.斐波那契数列

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

• 0 <= n <= 30

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一、信息

其实这道题目和上一道爬楼梯很像，就是边界值不同，都是用动态规划和滚动数组就可以解决。

斐波那契数列问题要求计算 F(n)，其中 F(0) = 0, F(1) = 1，并且对于任何 n > 1, F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)。

二、分析

• 数列定义：斐波那契数列是一个经典的递归数列，每个数是前两个数之和。
• 递归与迭代：直接递归会导致重复计算，效率低。迭代可以有效避免重复计算。
• 动态规划思想：存储前两个数的值，避免重复计算，这是动态规划的基本思想。

三、算法设计

• 迭代计算：从 0 和 1 开始，逐步计算直到第 n 个数。
• 存储中间值：使用变量存储前两个数。
• 边界情况：如果 n 是 0 或 1，直接返回 n。

四、代码实现（C++）

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        int p=0,q=0,r=1;
        if(n==0) return 0;
        else{
            for(int i=1;i<n;i++){
                p=q;
                q=r;
                r=p+q;
            }
        }
        return r;
    }
};

五、实现代码过程中可能遇到的问题

• 边界条件处理：必须正确处理 n = 0 和 n = 1 的情况。
• 整型溢出：对于更大的 n，可能会发生整型溢出。在本题中 n 的最大值是 30，不会发生溢出。
• 递归与迭代选择：直接递归虽然简单，但效率低。迭代是更优选择。

六、和爬楼梯的异同

相同点：

• 递推关系：两者都具有递推关系，即当前值依赖于前几个值的和。
• 动态规划适用性：都可以使用动态规划的思想来优化计算过程，避免重复计算。

不同点：

• 问题背景：斐波那契数列是一个数学问题，而爬楼梯问题是一个实际应用问题。
• 边界条件：斐波那契数列的起始值是 0 和 1，而爬楼梯问题的起始是 1 和 2（如果看作是斐波那契数列的变种）。
• 递推公式：虽然两者都是基于之前两个数的和，但爬楼梯问题在 n = 1 时的处理略有不同。

总结：

从斐波那契数列的问题中，我们可以学到许多重要的编程和算法概念，以及它们如何应用于解决不同类型的问题。以下是一些关键的学习点和思考角度：

1. 递归与迭代的理解和应用

• 递归思维：斐波那契数列天然适合递归解法，因为每个元素都是前两个元素的和，这符合递归的特性。
• 迭代的效率：虽然递归直观，但在实际应用中，迭代方法更加高效，因为它避免了递归带来的重复计算和高内存消耗。

2. 动态规划的基础概念

• 重叠子问题：斐波那契数列问题中的每个子问题都是重叠的，即每个数的计算都依赖于前面计算过的数。
• 记忆化：通过存储已解决的子问题的答案，可以减少计算量，这是动态规划中“记忆化”技术的基础。

3. 算法优化

• 空间优化：使用滚动数组的思想可以将空间复杂度降低到 O(1)，这种技巧在许多动态规划问题中都非常有用。

4. 算法通用性和问题转换

• 问题转换：将现实问题（如爬楼梯问题）转化为数学问题（斐波那契数列），再找到算法解决方案。
• 算法复用：学会在不同的问题中识别相似的模式，并复用相同的算法思想。例如，斐波那契数列和爬楼梯问题在算法结构上有相似之处。

5. 算法和数学的结合

• 数学模型的构建：算法不仅是编程技巧，也是一种将问题抽象为数学模型的工具，然后使用数学方法解决问题。

6. 边界情况的处理

• 边界条件：在解决任何算法问题时，始终注意边界条件的处理，这对于实现正确的算法至关重要。

通过这样的问题，我们不仅学习了如何编写有效的代码来解决特定问题，还能够深入理解和应用一些核心的计算机科学和数学概念，这对于解决更复杂的问题和长期的技术成长非常有价值。