算法训练Day38 | 动态规划理论基础；LeetCode509. 斐波那契数；70. 爬楼梯；746. 使用最小花费爬楼梯-优快云博客

确定dp数组及下标的含义

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果，dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]；
确定递推公式

为什么这是一道非常简单的入门题目呢？因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]；
dp数组如何初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：dp[0] = 0；dp[1] = 1；
确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的；
举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55；

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的；

2. 代码实现

2.1 代码实现一：动态规划

# 动态规划 
# time:O(N);space:O(N)
class Solution(object):
    def fib(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n<=1: return n
        dp = [0]*(n+1)
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1
        for i in range(2,n+1):
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        return dp[n]

2.2 代码实现二：动态规划状态压缩

写出以上的代码之后，我们当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列；

# 状态压缩 动态规划
# 不用记录整个斐波那契数列
# 只用记录当前值的前两个元素的值
# time:O(N);space:O(1)
class Solution(object):
    def fib(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n<=1: return n 
        first,second = 0,1
        for _ in range(n-1):
            result = first + second
            first = second
            second = result
        return result

2.3 代码实现三：递归做法

斐波那契数的题目用递归也是经典解法；

# 递归做法
# time:O(2^N);space:O(N)
class Solution(object):
    def fib(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n == 0: return 0
        if n == 1: return 1
        return self.fib(n-1)+self.fib(n-2)

3. 复杂度分析

3.1 代码实现一：动态规划

时间复杂度：O(N)

N为第N个斐波那契数，for循环在遍历时，遍历次数为O(N)的数量级；
空间复杂度：O(N）

需要一个大小为N的数列dp储存斐波那契数列；

3.2 代码实现二：动态规划状态压缩

时间复杂度：O(N)

N为第N个斐波那契数，for循环在遍历时，遍历次数为O(N)的数量级；
空间复杂度：O(1）

只用了三个变量储存前中后连续三个斐波那契数；

3.3 代码实现三：递归做法

（容易错）透彻理解递归的复杂度：

相信很多同学对递归算法的时间复杂度都很模糊，那么这篇来给大家通透的讲一讲。同一道题目，同样使用递归算法，有的同学会写出了O(n)的代码，有的同学就写出了O(logn)的代码。

这是为什么呢？

如果对递归的时间复杂度理解的不够深入的话，就会这样！

那么我通过一道简单的面试题，模拟面试的场景，来带大家逐步分析递归算法的时间复杂度，最后找出最优解，来看看同样是递归，怎么就写成了O(n)的代码。

💡 面试题：求x的n次方

方法一：for循环迭代解法；time complexity࿱

算法训练Day38 | 动态规划理论基础；LeetCode509. 斐波那契数；70. 爬楼梯；746. 使用最小花费爬楼梯

动态规划理论基础

LeetCode509. 斐波那契数

1. 思路

动态规划五部曲

2. 代码实现

2.1 代码实现一： 动态规划

2.2 代码实现二：动态规划 状态压缩