克拉默规则

克拉默规则

一个含有n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数的行列式值$D\ne 0$时，有且仅有唯一解，
$$x_j=\frac{D_j}{D}$$
其中$D_j$是把D的第j列换成常数项。

证明

方程组为
$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i,(i=1,2,..,n)$$
取D按第k列分解的余子式$A_{ik}(i=1,2,..,n)$，将它们分别与第1,2…,n个方程相乘，然后累加。得到
$$\sum _{i=0}^n{b}_i{A}_{ik}=\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ik}{x}_j\right)=\sum _{j=1}^n\left(\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ik}\right)x_j=\sum _{i=1}^n{a}_{ik}{A}_{ik}{x}_k+\sum _{1\le j\le n,j\ne k}\left(\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ik}\right)x_j$$
而
$$\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ik}=\{\begin{array}{ll}D,& i=k\\ 0,& x\ne 1\end{array}$$
所以
$$D_k=\sum _{i=0}^n{b}_i{A}_{ij}=D{x}_k$$
而D不等于0 ，所以$x_k=\frac{D_k}{D}$, 因为k是任取的， 可以推广到
$$x_j=\frac{D_j}{D},(j=1,..,n)$$
原方程组至多有这个解，下面检验这个是不是它的解。
考察第k(k=1,…,n)个方程的左边，
$$\sum _{j=1}^n{a}_{kj}{x}_j=\sum _{j=1}^n\frac{a_{kj}{D}_j}{D}$$
将$D_j$按第j列分解，
$$D_j=\sum _{i=0}^n{b}_i{A}_{ij}$$
代入得到
$$\sum _{j=1}^n{a}_{kj}{x}_j=\frac{1}{D}\sum _{j=1}^n\left(\sum _{i=0}^n{b}_i{A}_{ij}\right)a_{kj}=\frac{1}{D}\sum _{i=0}^n{b}_i\left(\sum _{j=1}^n{a}_{kj}{A}_{ij}\right)=\frac{1}{D}{b}_k\sum _{j=1}^n{a}_{kj}{A}_{kj}+\frac{1}{D}\sum _{1\le i\le n,i\ne k}{b}_i\left(\sum _{j=1}^n{a}_{kj}{A}_{ij}\right)$$
而
$$\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ik}=\{\begin{array}{ll}D,& i=k\\ 0,& x\ne 1\end{array}$$
所以
$$\sum _{j=1}^n{a}_{kj}{x}_j=\frac{1}{D}{b}_{k}D=b_k$$
所以第k个方程成立, $x_j=\frac{D_j}{D}$是原方程组的解。