从系统角度探究一阶滞后滤波器

1 频率响应

        一阶滞后滤波器是一种常见的低通滤波器，其表示式如下（a和1-a的位置依据个人喜好而定）：

        这里a的取值范围为0<a<1，a越小，过滤效果越好，但会带来更大的时延，适用于后置处理，如计算出电压有效值后平滑输出，防止异常数据带来的抖动，较小的a值甚至可以直接用于周期信号平均值的计算（如励磁电压电流这种不需要计算有效值）。如下图是a=0.1时，在MATLAB使用freqz函数打印的频率响应，频率采用归一化显示，幅值使用dB方式，仔细观察幅值下降速度，频率点仅过去0.1，幅值就下降了10dB，说明对高频信号的抑制是强烈的，低频通带变得很窄。

        另观察相频曲线，低频初段的曲线下降就已经很快了，说明低频部分的相移非常剧烈。假设有一个使用5000Hz采样的电网信号，50Hz基频就相当于0.01的归一化频率点，此频率点的相移已经有15度，这对于有实时性要求的系统是致命的。

a=0.1时的频率响应曲线

        a越大，过滤效果会减小，但越还原信号，适用于前置处理且对时延敏感的场景，如过零点检测前去除局部微小波动。下图是a=0.9时的频率响应，观察曲线下降速度，频率点到0.5时，幅值仅下降1dB，仍然有很多的中高频分量引入。

        然后观察相频曲线，低频段的下降是比较温和且线性的，说明该滤波器的时延较短且线性，不会对原信号处理产生较大变形。

a=0.9时的频率响应曲线        

        总的来说，这种低通滤波器简单实用，开销很小，可以简单粗暴地涵盖大部分应用场景。

2 探究零极点

        为了探究上面频率响应曲线是怎么来的，进一步研究系统函数和零极点：

        其极点为z=1-a，零点为0，随着a从0到1，系统的极点从1到0，如图：

        由信号系统理论可知，对于离散系统，其频率响应是周期的，有效区间通常可以写作（或），相当于在Z变换图上，从单位圆起点(1,0)逆时针绕圈360°，且对于有理系统，零极点是对称的，则上下半轴是对称的，因此只需观测0到180°之间的响应，其中0°对应低频，180°对应高频。由于系统函数又可以写成如下的形式：

2.1 幅频响应

        将单位圆上的频率点 jw 带入，并取模得到幅频响应：

        则每一个频率点的幅频响应就等于频率点到每一个零点的长度的乘积，除以频率点到每一个极点的长度的乘积。由于一阶滞后滤波器的零点固定，单位圆半径为1，则幅值响应结果的分子始终为1。极点越靠近(1,0)，频率点与极点之间距离会受频率点在单位圆上位置的影响越大，低通效果越明显。

        相反，极点越靠近(0,0)，频率点与零极点之间距离就越接近，幅频响应的起伏就越小，低通效果越不明显。

2.2 相频响应

        相频特性也就呼之欲出了，由于：

        则：

        对不同频率点，其相位响应等于频率点到零点的直线与实轴的夹角和，减去频率点到极点的直线与实轴的夹角和。如下图，由三角形相关定理可知，相位响应θ刚好等于频率点与零极点做直线段的夹角，随着频率增加，θ会先从0增大，最后减小到0，这正好符合上面的响应图。且极点越靠近(1,0)，θ初段增大越迅速，对应的时延也就越大：极点越靠近零点，夹角θ就越小，时延也就越小。

        上图勘误：所用三角形定理为“三角形任意一外角等于不相邻的两个内角和”，而非“同旁内角”。