28、凸弯曲成本下的最优正交图绘制

凸弯曲成本下的最优正交图绘制

在图绘制领域，正交图绘制是一个重要的研究方向，尤其是在考虑弯曲成本的情况下，如何得到最优的正交图绘制是一个具有挑战性的问题。本文将深入探讨凸弯曲成本下的最优正交图绘制相关内容，包括基本概念、图的连通性与SPQR树、正交表示、流网络以及有效绘制等方面。

1. 基本概念

• OptimalFlexDraw问题 ：该问题旨在寻找一个最优的正交图绘制，即所有边的成本总和最小的绘制。对于成本函数 $cost_e(\cdot)$，其差分函数定义为 $\Delta cost_e(\rho) = cost_e(\rho + 1) - cost_e(\rho)$。若差分函数大于等于0，则成本函数是单调的；若差分函数是单调的，则成本函数是凸的。边 $e$ 的单调成本函数的基础成本为 $b_e = cost_e(0)$。当对于每条边 $e$ 都有 $cost_e(0) = cost_e(1)$ 时，图 $G$ 具有正灵活性。若图 $G$ 具有正灵活性且每个成本函数都是凸的，则称其为正凸实例。

2. 图的连通性与SPQR树

• 连通性相关定义
  • 若任意一对顶点之间都存在路径，则图是连通的。
  • 分离 $k$ - 集是指移除后会使图不连通的 $k$ 个顶点的集合。分离1 - 集和2 - 集分别称为割点和分离对。
  • 若图没有割点，则它是双连通的；若图没有分离对，则它是三连通的。
  • 关于分离 $k$ - 集 $S$ 的割组件是指移除 $S$ 后