29、优化正交图绘制与连通性问题的确定性单指数时间算法

优化正交图绘制与连通性问题的确定性单指数时间算法

在图论和算法领域，正交图绘制和连通性问题一直是研究的重点。本文将介绍正交图绘制中如何优化具有凸弯曲成本的图绘制，以及如何解决参数化树宽的连通性问题。

优化正交图绘制

在正交图绘制中，我们主要关注双连通 4 - 平面图的最优绘制问题。

相关引理与定理

• 引理 3 ：设 $G$ 是具有正灵活性、有效正交表示 $R$ 的双连通 4 - 平面图，且 $s$ 和 $t$ 共享面 $f$。若满足以下条件之一，则扩展灵活图包含有向循环 $C$，使得 $s \in left(C)$ 且 $t \in right(C)$：
  1. $rot_R(\pi_f(s, t)) \geq -2$，$f$ 是外表面，且 $\pi_f(s, t)$ 不是从 $t$ 到 $s$ 的严格有向路径。
  2. $rot_R(\pi_f(s, t)) \geq 0$ 且 $f$ 是外表面。
  3. $rot_R(\pi_f(s, t)) \geq 6$。
• 定理 3 ：每个具有正灵活性且有有效正交表示的双连通 4 - 平面图，都有一个具有相同平面嵌入和相同顶点周围角度的有效正交表示，该表示相对于其 SPQR - 树中至少一个被选为根的节点是“好的”。这里“好的”正交表示需满足：
  1. 它是紧凑的。
  2. 每个主要分裂组件最多有三个弯曲。
  3. 如果 SPQR - 树的根 $\ta