71、图绘制相关研究：从交叉最小化到网格障碍表示

图绘制相关研究：从交叉最小化到网格障碍表示

1. 直线交叉最小化的几何启发式方法

在图绘制中，交叉会对图的可读性产生重大影响，因此交叉最小化在理论和实践中都备受关注。在拓扑图绘制中，通过迭代将边插入到交叉较少的（平面）图中是一种有效的方法，但这种方法不适用于直线图绘制。因为判断是否存在与给定图同胚的直线图是一个 ∃R - 完全问题，所以需要一种几何方法来处理直线图绘制。

1.1 基本操作与定理

设 (G=(V, E)) 是一个无向图，(\Gamma) 是 (G) 的直线图。对于顶点 (v\in V)，(\Gamma [v \to p]) 表示将顶点 (v) 移动到点 (p\in R^2) 后得到的直线图。

定理表明，对于图 (G) 中的顶点 (v) 和其直线图 (\Gamma)，可以在 (O((kn + m)^2 \log (kn + m))) 时间内计算出点 (p^ \in R^2)，使得 (cr(\Gamma [v \to p^ ]) = \min_{q\in R^2} cr(\Gamma [v \to q]))，其中 (k = deg v)。

1.2 启发式方法

基于将顶点移动到交叉最小位置的基本操作，提出了三种启发式方法来计算交叉较少的图：
- 顶点移动方法（VM） ：按特定顺序迭代地将顶点移动到其局部最优位置。
- 顶点插入方法（VI） ：从一个大的诱导平面图开始，将顶点插入到其局部最优位置。
- 边插入方法（EI 和 EP） ：从一个最大