27、非交换行列式与最优正交图绘制的研究

非交换行列式与最优正交图绘制的研究

非交换行列式的复杂度分析

在研究行列式计算时，我们会遇到不同代数结构下的情况。对于非交换代数上的行列式计算，其复杂度与代数的性质密切相关。

首先，我们构建了相关的图结构，包括选择器小装置、子句小装置和平等小装置。在图 (G’) 中，一致的循环覆盖可以扩展到图 (G) 的多个循环覆盖。
- 一致循环覆盖的权重 ：如果平等小装置连接的两条边都被选取，那么在图 (G) 中会选取路径 (u - x - v) 和 (u’ - z - v’)，内部顶点 (y) 由自环覆盖，权重为 (-1)；如果两条边都不被选取，覆盖内部节点 (x)、(y) 和 (z) 有六种可能性，其中四种权重为 (1)，两种权重为 (-1)，总和为 (2)。每个一致循环覆盖会映射到多个循环覆盖，总权重为 ((-1)^p2^q)，其中 (p) 是设为零的文字数量，(q) 是设为一的文字数量，在归一化的情况下，(p = q = 3m/2)。
- 不一致循环覆盖的权重 ：存在一些循环覆盖不能一致地覆盖平等小装置，例如路径 (u - x - v) 被选取但 (u’ - z - v’) 未被选取，或者从 (u) 进入小装置却从 (v’) 离开。可以证明，所有至少有一个平等小装置未被一致覆盖的循环覆盖的权重总和为零。

最终得到 (per G = (-2)^{3m/2}·#3 - SAT(\varphi))，其中 (#3 - SAT(\varphi)) 表示 (\varphi) 的满足赋值数量。

当考虑非交换代数上的行列式时，每个循环覆盖 (C) 由 (sgn(C)) 加权，并且边权重