Chester King

这题看似比较麻烦，但是只要仔细一想，发现我们可以把题意转化成：令t=gcd(x,y)，若t为素数，则在[1,n/t]的范围内找出所有的点对(x,y)，满足gcd(x,y)=1，求点对数的总和。突然发现后面那个不就是欧拉函数吗？所以题目就变成了对于n以内的所有素数t，求1~t内所有数的欧拉函数之和。直接用线性筛求出欧拉函数，然后对于欧拉函数做一遍前缀和，最后枚举n以内的所有素数，统计答案即可。

题目传送门我连这种水题都不会做啦……感觉要炸啊……nn的最大公约数必定是nn的因数xx，如果有gg个数和nn的最大公约数为xx，那么这gg个数对答案的贡献显然为x∗gx*g。那么问题就转化成了如何快速求出和nn的最大公约数为xx的个数gg。观察等式gcd(n,i)=xgcd(n,i)=x，可以转化成gcd(n/x,i/x=1gcd(n/x,i/x=1，后者显然可以用欧拉函数求出符合条件的ii的个数g

题目传送门这题的想法好棒啊，原来欧拉函数还可以这么用的。（涨姿势.jpg）首先有一个前置知识：降幂公式。我们知道欧拉定理，若(a,m)=1(a,m)=1，aϕm=1 (mod m)a^{\phi m}=1\ (mod \ m )，然后欧拉定理有一个推论：若m≥ϕpm \ge \phi p，则am≡a(m mod ϕp)+p (mod p)a^m \equiv a^{(m \ mod \ \phi p

题目传送门来来来，推式子啦： ∑i=1n∑j=1nϕ(gcd(i,j))=∑i=1n∑j=1n∑d=1n[gcd(i,j)=d]×ϕ(d)=∑d=1n(ϕ(d)×∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋[gcd(i,j)=1])\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\phi(gcd(i,j))=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d=1}^n[gcd(i,j)=d]\t