【51nod】1040 最大公约数之和 欧拉函数

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我连这种水题都不会做啦……感觉要炸啊……

$n$的最大公约数必定是$n$的因数$x$，如果有$g$个数和$n$的最大公约数为$x$，那么这$g$个数对答案的贡献显然为$x*g$。那么问题就转化成了如何快速求出和$n$的最大公约数为$x$的个数$g$。

观察等式$gcd(n,i)=x$，可以转化成$gcd(n/x,i/x)=1$，后者显然可以用欧拉函数求出符合条件的$i$的个数$g$。

由于这题的数据范围过大，$n \leq 1e9$，我们不能直接$O(n)$算欧拉函数，好像也不需要哈，可以对每个 n <script type="math/tex" id="MathJax-Element-72">n</script>的因数单独算一次欧拉函数。

附上AC代码：

#include <cstdio>
using namespace std;

int n;
long long ans;

inline long long eular(int x){
    long long ret=1;
    for (int i=2; i*i<=x; ++i)
        if (x%i==0){
            x/=i,ret*=i-1;
            while (x%i==0) x/=i,ret*=i;
        }
    return x>1?ret*(x-1):ret;
}

int main(void){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1; i*i<=n; ++i)
        if (n%i==0){
            int t=n/i;
            ans+=1ll*i*eular(t);
            if (i!=t) ans+=1ll*t*eular(n/t);
        }
    return printf("%lld\n",ans),0;
}