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渲染基础理论的介绍(1)

Tags: math, computer graphics

基础概念

辐射度学 Radiometry

辐射度学是指测量电磁辐射(包括可见光)的一系列技术，它是和观察者无关的。而近似的光度学(photometric)，是观察者相关的。这里我所说的观察者无关，是指测量值和人眼并无关系，是绝对值。

基于辐射度学来做渲染，需要了解下面这些东西：

光谱 Spectrum
光谱功率分布(SPD, spectral power distribution)
XYZ 和 RGB 两种CIE颜色系统以及它们之间、它们和SPD之间的转换
辐射通量(Flux)
立体角(Solid Angle)
辐射密度(Irradiance)
辐射亮度(Radiance)

光谱 Spectrum

现实中大部分光源（非直接光源也算），发射出的光都是复合光，即是由不同波长的色光混合而成的。光谱就是指所有光波的分布。光谱图如下：

其中波长在 390 nm 到700 nm之间的光波称为可见光。

光谱功率分布spectral power distribution

光谱功率分布描述的是这样一件事情：对于一个直接或间接光源物体，它发射出的复合光中各个波长的色光分别有多少能量，或者说，这个光源的能量是如何分布到各个波长的光波的？

譬如，水银灯的光主成分是波长为404.7, 407.8, 435.8, 546.1, 577.0, 579.0纳米的光波（见下图）。这意味着能量分布非常不平衡，主要集中在这几个波长上了，相当于离散了。

上图就是水银灯的SPD曲线了。

而白炽灯的SPD曲线是这样子的：

注意上面两个图中，横轴是指波长，纵轴是指每单位纳米(10纳米一个单位)的波长的功率（能量）。

SPD曲线都是用Spectroradiometers 这种专门仪器测量的。

SPD一般用符号P(λ)表示。

XYZ 三色刺激值(tristimulus vlaues)

(CIE标准观察者颜色匹配函数)(The CIE standard observer color matching functions)

当看到CIE standard observer字眼时，其实指的就是上面这个图。这个图是通过测量获得的，好处是这个图相当于一个数据表，当需要把SPD曲线转换成XYZ三刺激值时，就可以用这个图做，坏处是它不是数学描述出来的，那么应用起来就有一定限制性。

那么SPD如何转换到XYZ呢？公式如下：

这里面用到了积分，但因为匹配函数是非数学描述的（上面的图的3条曲线），所以这个公式不可用，然而我们可以另辟蹊径，用采样和线性叠加的方法计算XYZ：

这里的下标i代表第几个刻度的采样。采样间隔(spacing)一般是1到20纳米，采样空间(span)是整个可见光波段（这个波段的具体范围取决于实际需求和SPD曲线）。

通过SPD计算XYZ：Computing XYZ From Spectral Data

XYZ和RGB之间的互相转换

XYZ到RGB

公式是：

(此矩阵只适用于 sRGB 定义中的RGB)

(对于右边的输入值XYZ，也是有要求的，这是因为左边的 RGBlinear 的取值范围是[0,1]，所以右边的XYZ也需要做规范化。在我的下一篇文章中会介绍这部分。)

得到的 RGBlinear 是线性空间的，有什么意义呢？因为一般渲染器都是在线性空间下进行光照计算的，所以这个 RGBlinear 可直接用到光照等计算中。但是当要把最终的渲染结果输出时，例如写入到位图文件或显示到屏幕上，就需要对每个像素的 RGBlinear 做gamma校正，校正成sRGB，公式如下：

校正后的sRGB是单位化的，各个分量的取值范围是[0.0, 1.0]，输出时需要乘以255并取整。

RGB到XYZ

当输入的RGB是sRGB时，需要做逆gamma校正，公式如下：

得到线性空间的RGB值后，就可以用下面的公式转换到XYZ空间：

辐射通量(Flux)

辐射通量(Radiant Flux)，指的是单位时间到达一块平面(或一个局部空间区域)的能量总和。单位是焦耳每秒(joules/second,，J/s)，或瓦特(watts，W)。符号是 Φ 。

一个点光源发射出去的能量大小可以用Flux来描述。其中要注意的是，Flux描述的是单位时间的能量，那么对于点光源来说，Flux只和光源的强弱有关，所以下图的2个圆圈的Flux值是一样的。

辐射密度(Irradiance) (或称辐射照度(Radiant Exitence))

辐射密度也叫辐射照度。定义了辐射通量后，就可以定义辐射照度了，辐射照度指的是单位面积进入的辐射通量，单位是 W/m2 。根据这个定义用符号E表示。

辐射照度和辐射密度是近似的东西，辐射照度指的是单位面积离开的辐射通量，单位也是 W/m2 。用符号M表示。

以上面的点光源来分析，可以知道上图中内圆圈的辐射照度比外圆圈的辐射照度大，这是因为内圆圈的面积更小而点光源的Flux值恒定，所以内圆圈的E值就大。

用公式表示：

E = 点 光 源 辐 射 通 量 球 的 表 面 积 = Φ 4 π r 2

可见，W恒定，半径r越小，那么辐射照度E越大。

当假设光源在无限远处时，可把光源认为是一块平面（这种光源叫方向光）。此时，光源平面与被照射平面存在2种情形：光源平面与被照射平面平行（下图中的A）、光源平面与被照射平面不平行（下图中的B）：

(图中的平面附近的A指的是面积Area)

当光源平面与被照射平面平行时，有：

E 1 = Φ A

当光源平面与被照射平面不平行时，需要根据平面的法向量和光线方向的夹角θ，先求出 A′ ：

c o s θ = A A '

A' = A c o s θ

于是得到：

E 2 = Φ A ' = Φ A c o s θ = Φ c o s θ A

也可以记为

E = Φ c o s θ A ⊥

( A⊥ 指A'在光线的方向的正交平面上的投影)

微分形式：

d E = d Φ c o s θ d A ⊥

根据这个式子，可以想到，当θ逼近0度时，cosθ等于1，法向量和光线方向平行（上图中的A）；当θ逼近90度时，cosθ等于0，辐射照度E为0（光线垂直于法向量了）。

立体角(Solid Angle)

立体角的介绍请访问：立体角(Solid Angle)详解

辐射亮度(Radiance)

辐射亮度是指辐射通量与单位面积(注意，是与光线方向正交的那块)单位立体角的比值。符号为L。定义式如下：

L = d Φ d ω d A ⊥ = d Φ d ω d A c o s θ

或：

L = Φ ω A ⊥

物理含义如下图所示：

辐射密度E和辐射亮度L的关系是"总体"和"个体"的区别，可以对比下两者的公式来理解：

E = Φ A

L = Φ ω A ⊥

E是指进入目标区域的总辐射通量与目标区域总面积的比值；而L是指进入目标区域的总辐射通量与目标区域总面积、总的入射立体角的比值，也就是说L是比E多除了立体角。直观图示如下：

也就是说其实E和L可以认为是同一个东西，只是L描述的是E的局部。用一句话记住两者的区别：有特定方向时是L，无特定方向时是E。这个区别相当重要，因为它体现在了渲染方程中。

注意：在计算机图形学中，辐射亮度比起上面其他物理量，都重要地得多。

如果要求平面上某点p的某方向 ω 的辐射亮度L(Radiance)，可用下面的符号表示：

L (p, ω)

其中， ω 的方向需要注意，因为它是一个立体角，立体角的圆心是p， ω 的朝向必然是从圆心p往外（向量起点是p）。

实际上，需要区分成入射(input)和出射(output)2种辐射亮度L，用下面2个符号表示：

L i (p, ω)

L o (p, ω)

且在现实世界中有：

L i (p, ω) \neq L o (p, ω)

还有，上面的这个p不能简单认为真的是一个无体积的点，它也可能是一个无限小的平面块，即它是一个有面积A、有法向量n的“点”。对于这样一个“点”，我们可以求出它的上半球(沿着n的方向)的辐射密度值 E(p,n) ：

E (p, n) = \int Ω L i (p, ω) | c o s θ | d ω

分析下这个式子的由来。首先搬出上文给出的L和E的公式：

L = d Φ d ω d A ⊥

d E = d Φ c o s θ d A ⊥

所以有：

d Φ = L d ω d A ⊥

d E = d Φ c o s θ d A ⊥ = L d ω d A ⊥ c o s θ d A ⊥ = L d ω c o s θ

对上式做整个半球的积分，就得到了：

E = \int Ω L | c o s θ | d ω

也就是：

E (p, n) = \int Ω L i (p, ω) | c o s θ | d ω

其中的 cosθ 加绝对值是因为我们求的是半球的积分，立体角 ω 和法向量的夹角必然是锐角，锐角的余弦值必然大于等于0。

如果把式子中的 dω 替换成球形角(Sphere Angle)，则得到：

d ω = s i n θ d θ d ϕ

E (p, n) = \int Ω L i (p, ω) | c o s θ | s i n θ d θ d ϕ

这个式子是不对的，因为积分那里用了立体角，需要将其转换成对 θ和ϕ 的积分。因为这里积分的是半球，那么 θ 的取值范围是 [0,π2] 、 ϕ 的取值范围是 [0,2π] ：

E (p, n) = \int 2 π 0 \int π 2 0 L i (p, θ, ϕ) c o s θ s i n θ d θ d ϕ

（因为已经明确限定了 θ 的取值范围，所以 cosθ 必然大于等于0，可去掉绝对值符号）

如果 Li(p,θ,ϕ) 是一个常量值，那么就意味着任意方向的Radiance都是相等的，于是上式可以求出积分：

E (p, n) = L i (p, θ, ϕ) \int 2 π 0 \int π 2 0 c o s θ s i n θ d θ d ϕ

= L i (p, θ, ϕ) \int 2 π 0 (1 2 s i n 2 θ) | π 2 0 d ϕ

= L i (p, θ, ϕ) \int 2 π 0 (1 2 s i n 2 π 2 - 1 2 s i n 2 0) d ϕ

= L i (p, θ, ϕ) \int 2 π 0 1 2 d ϕ

= L i (p, θ, ϕ) 1 2 (2 π - 0)

= L i (p, θ, ϕ) π

注意，这个简化公式在渲染中很重要。因为当计算一个点到摄像机的Radiance，第一步就是先求这个点的入射E（求E的过程可以很复杂），当求出E之后，就可以认为这个点对任意方向的出射Radiance是均等的，也就是 L=Eπ 。

渲染方程 Rendering Equation

把wiki的渲染方程贴进来：

https://en.wikipedia.org/wiki/Rendering_equation

各个组成元素的解释：

λ 指代波长为λ的光
t 某一时间点
x 指空间上的某个点，也即被渲染的点(微分平面) (其实应该写成p吧)
n 被渲染的点(平面)的法向量，可以人为指定也可以根据一定规则自动生成
ωo 出射光线的方向（是一个立体角)，起点在x(被渲染的点)
ωi 入射光线的反方向（是一个立体角)，起点也在x，所以才叫反方向
Lo(x,ωo,λ,t) 在t时刻、从x点往 ωo 方向的光(λ)的总辐射亮度(Radiance)
Le(x,ωo,λ,t) 指x点自身发射出的辐射亮度(Radiance)，其他参数含义同 Lo(x,ωo,λ,t)
Ω 是以x为圆心的单位半球，半球的朝向和法向量n一致
∫Ω⋯dωi 指对这个半球做积分
fr(x,ωi,ωo,λ,t) BRDF函数，函数的返回值是一个比值(ratio scalar)
Li(x,ωi,λ,t) 在t时刻、沿着 ωi 方向进入x点的光(λ)的辐射亮度(Radiance)
ωi⋅n 是一个衰减比值(一般是0到1)，指入射光的方向和法向量的夹角 θi ，这个夹角导致产生的衰减。原因请参考上面的辐射通量小节。这个参数也可以写成 cosθi