树链剖分-总结

【树链剖分是啥？】

树链剖分是用于将树上操作转化为序列操作的一种算法。在信息学竞赛中有着广泛的应用。
比如：给定一棵树以及各点的权值，每次操作给出两个点，把这两点之间路径上的所有点的权值改变或者求和。
这种题目就是典型的树链剖分，转化成序列操作之后用线段树维护即可。

【概念】

我们把子树x的节点个数记为siz[x]。
那么对于任意节点i，定义它的儿子中siz[]最大的为i的“重儿子”（H_son[i]），其他为i的“轻儿子”。
i与H_son[i]之间的边称为“重边”，其他边为“轻边”。
只由重边构成的一条路径称为“重链”。
这就是树链剖分的基本概念。

【性质】

不难得出，对于任意一棵树，有以下性质：
性质一：任意轻边(u,v)有siz[v]*2siz[u]
性质二：从根节点到任意点的路径上，最多有logn条轻边
性质三：从根节点到任意点的路径上，最多经过logn条重链

这样就保证了树链剖分的复杂度为O(logn)（单次询问）

【做法】

首先要预处理出所需的信息，可以两次dfs解决。
第一次，处理出dep[]（深度）、H_son[]、siz[]、fa[]（父节点）。这个不用我多说，代码非常好打。

第二次，处理出top[]（节点所在重链的顶端）并标上id[]（在序列中的新编号）
这里就需要注意一下了，我们希望同一条重链上的所有节点在序列中是连续排列的，所以dfs时要注意：如果当前节点有重儿子，优先处理重儿子。

void dfs2(int x,int lst){
    top[x]=lst;id[x]=++tim;
    if (H_son[x]) dfs2(H_son[x],lst);
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
     if (fa[x]!=son[j]&&H_son[x]!=son[j]) dfs2(son[j],son[j]);
}

接下来就要考虑操作/查询。
操作与查询的思路其实一模一样，都是将一条路径转化为序列上的多段区间，分别操作或查询。这里以查询为例。
现在我们有两个点x,y。要求它们之间路径上的权值和。
考虑如下两种情况
1.x与y在同一条重链上，直接求序列中对应区间的权值和即可
2.x与y不再同一条重链上，那就找深度较大的那个点（不妨设为x）统计top[x]~x的对应区间即可，然后x跳到top[x]的fa上。重复直到出现情况1。

int asks(int x,int y){
    int res=0;
    while (top[x]!=top[y]){
        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        res+=qrys(1,id[top[x]],id[x]);
        x=fa[top[x]];
    }
    if (id[x]>id[y]) swap(x,y);
    res+=qrys(1,id[x],id[y]);
    return res;
}

树链剖分的内容就是这些了。
【例题】
BZOJ1036

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=30005,maxe=60005;
int n,q;
int son[maxe],nxt[maxe],lnk[maxn],tot;
void add(int x,int y){
    son[++tot]=y;nxt[tot]=lnk[x];lnk[x]=tot;
}
inline int red(){
    int tot=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||'9'<ch) {if (ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
    while ('0'<=ch&&ch<='9') tot=tot*10+ch-48,ch=getchar();
    return tot*f;
}
int siz[maxn],fa[maxn],dep[maxn],H_son[maxn],top[maxn],id[maxn],tim;
void dfs1(int x){
    siz[x]=1;dep[x]=dep[fa[x]]+1;
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
     if (fa[x]!=son[j]){
        fa[son[j]]=x;dfs1(son[j]);
        if (siz[son[j]]>siz[H_son[x]]) H_son[x]=son[j];
        siz[x]+=siz[son[j]];
     }
}
void dfs2(int x,int lst){
    top[x]=lst;id[x]=++tim;
    if (H_son[x]) dfs2(H_son[x],lst);
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
     if (fa[x]!=son[j]&&H_son[x]!=son[j]) dfs2(son[j],son[j]);
}
struct node{
    int x,l,r,mx,s;
    node(int x=0,int y=0) {l=x,r=y;x=mx=s=0;}
}tre[maxn*4];
void buildtree(int x,int l,int r){
    tre[x]=node(l,r);
    if (l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    buildtree(x<<1,l,mid);buildtree(x<<1|1,mid+1,r);
}
void ist(int x,int k,int w){
    if (k<tre[x].l||tre[x].r<k) return;
    if (tre[x].l==tre[x].r) {tre[x].x=tre[x].mx=tre[x].s=w;return;}
    ist(x<<1,k,w);ist(x<<1|1,k,w);
    tre[x].mx=max(tre[x<<1].mx,tre[x<<1|1].mx);
    tre[x].s=tre[x<<1].s+tre[x<<1|1].s;
}
int qrymx(int x,int l,int r){
    if (r<tre[x].l||tre[x].r<l) return 0x80000000;
    if (l<=tre[x].l&&tre[x].r<=r) return tre[x].mx;
    return max(qrymx(x<<1,l,r),qrymx(x<<1|1,l,r));
}
int qrys(int x,int l,int r){
    if (r<tre[x].l||tre[x].r<l) return 0;
    if (l<=tre[x].l&&tre[x].r<=r) return tre[x].s;
    return qrys(x<<1,l,r)+qrys(x<<1|1,l,r);
}
int askmx(int x,int y){
    int res=0x80000000;
    while (top[x]!=top[y]){
        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        res=max(res,qrymx(1,id[top[x]],id[x]));
        x=fa[top[x]];
    }
    if (id[x]>id[y]) swap(x,y);
    res=max(res,qrymx(1,id[x],id[y]));
    return res;
}
int asks(int x,int y){
    int res=0;
    while (top[x]!=top[y]){
        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        res+=qrys(1,id[top[x]],id[x]);
        x=fa[top[x]];
    }
    if (id[x]>id[y]) swap(x,y);
    res+=qrys(1,id[x],id[y]);
    return res;
}
int main(){
    n=red();
    for (int i=1,x,y;i<n;i++) x=red(),y=red(),add(x,y),add(y,x);
    dep[0]=siz[0]=fa[1]=tim=0;
    dfs1(1);dfs2(1,1);
    buildtree(1,1,n);
    for (int i=1;i<=n;i++) ist(1,id[i],red());
    q=red();
    while (q--){
        char s[10];scanf("%s",s);
        if (s[1]=='H'){
            int u=red(),t=red();
            ist(1,id[u],t);
        }else
        if (s[1]=='M'){
            int x=red(),y=red();
            printf("%d\n",askmx(x,y));
        }else{
            int x=red(),y=red();
            printf("%d\n",asks(x,y));
        }
    }
    return 0;
}