bzoj5380 Function 单调栈维护凸壳+二分

最新推荐文章于 2019-12-02 13:26:12 发布

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本文介绍了一个关于寻找二维网格中从任意点出发到达顶部的最优路径问题，并给出了一种基于分段函数和凸壳维护的解决方案。该方案通过构建直线集合并利用单调栈维护这些直线的凸壳来高效地解决问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

这里写图片描述

Solution

改了一天搞出来了（哭泣脸
翘掉了数据结构讲课，自我感觉良好

一个结论就是，最优答案一定是一条先向左上↖若干步再向上到顶↑的一条路径
考虑枚举从哪一列开始向上到顶，设为i，那么此时对于起点(x,y)答案就是 $a[i]\cdot(x-y)+a[i]\cdot i-sum[i]+sum[y]$
我们把y-x看作自变量，将a[i]视为系数，后面的为常数，那么这就变成了许多条直线。我们需要在y-x这个点上找到最小值。如果不太能理解可以把这个看成是分段函数
考虑维护这些直线的凸壳，我们根据斜率和相邻直线交点的单调性做单调栈，然后在凸壳上二分得到一条单调栈内的直线与前后直线的交点组成的区间恰好包含y-x
据某位数据结构大佬说据某位数据结构大佬说可以用李超树

码力不够

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int N=1000005;

struct Q {int x,y,id;} q[N];

int stack[N],top;
LL ans[N],a[N],b[N],sum[N];
double pos[N];

int read() {
    int x=0,v=1; char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';v=(ch=='-')?(-1):(v),ch=getchar());
    for (;ch<='9'&&ch>='0';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
    return x*v;
}

double get(int i,int j) {
    return (double) (b[j]-b[i])/(a[i]-a[j]);
}

bool cmp(Q a,Q b) {
    return a.y<b.y;
}

int main(void) {
    int n=read();
    rep(i,1,n) {
        a[i]=read(); sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        b[i]=a[i]*i-sum[i];
    }
    int T=read();
    rep(i,1,T) q[i]=(Q) {read(),read(),i};
    std:: sort(q+1,q+T+1,cmp);
    int now=0;
    rep(i,1,T) {
        int d=q[i].x-q[i].y;
        while (now+1<=q[i].y) { now++;
            while (top&&a[stack[top]]>=a[now]) top--;
            while (top>=2&&get(now,stack[top])>get(stack[top],stack[top-1])) top--;
            stack[++top]=now;
            if (top>1) pos[n-top]=get(now,stack[top-1]);
        }
        int tmp=std:: lower_bound(pos+n-top,pos+n-1,d)-pos;
        tmp=n-tmp;
        ans[q[i].id]=d*a[stack[tmp]]+b[stack[tmp]]+sum[now];
    }
    rep(i,1,T) printf("%lld\n", ans[i]);
    return 0;
}