bzoj5380 Function 单调栈维护凸壳+二分

本文介绍了一个关于寻找二维网格中从任意点出发到达顶部的最优路径问题,并给出了一种基于分段函数和凸壳维护的解决方案。该方案通过构建直线集合并利用单调栈维护这些直线的凸壳来高效地解决问题。

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Description


这里写图片描述

Solution


改了一天搞出来了(哭泣脸
翘掉了数据结构讲课,自我感觉良好

一个结论就是,最优答案一定是一条先向左上↖若干步再向上到顶↑的一条路径
考虑枚举从哪一列开始向上到顶,设为i,那么此时对于起点(x,y)答案就是a[i](xy)+a[i]isum[i]+sum[y]a[i]⋅(x−y)+a[i]⋅i−sum[i]+sum[y]
我们把y-x看作自变量,将a[i]视为系数,后面的为常数,那么这就变成了许多条直线。我们需要在y-x这个点上找到最小值。如果不太能理解可以把这个看成是分段函数
考虑维护这些直线的凸壳,我们根据斜率和相邻直线交点的单调性做单调栈,然后在凸壳上二分得到一条单调栈内的直线与前后直线的交点组成的区间恰好包含y-x
据某位数据结构大佬说据某位数据结构大佬说可以用李超树

码力不够

Code


#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int N=1000005;

struct Q {int x,y,id;} q[N];

int stack[N],top;
LL ans[N],a[N],b[N],sum[N];
double pos[N];

int read() {
    int x=0,v=1; char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';v=(ch=='-')?(-1):(v),ch=getchar());
    for (;ch<='9'&&ch>='0';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
    return x*v;
}

double get(int i,int j) {
    return (double) (b[j]-b[i])/(a[i]-a[j]);
}

bool cmp(Q a,Q b) {
    return a.y<b.y;
}

int main(void) {
    int n=read();
    rep(i,1,n) {
        a[i]=read(); sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        b[i]=a[i]*i-sum[i];
    }
    int T=read();
    rep(i,1,T) q[i]=(Q) {read(),read(),i};
    std:: sort(q+1,q+T+1,cmp);
    int now=0;
    rep(i,1,T) {
        int d=q[i].x-q[i].y;
        while (now+1<=q[i].y) { now++;
            while (top&&a[stack[top]]>=a[now]) top--;
            while (top>=2&&get(now,stack[top])>get(stack[top],stack[top-1])) top--;
            stack[++top]=now;
            if (top>1) pos[n-top]=get(now,stack[top-1]);
        }
        int tmp=std:: lower_bound(pos+n-top,pos+n-1,d)-pos;
        tmp=n-tmp;
        ans[q[i].id]=d*a[stack[tmp]]+b[stack[tmp]]+sum[now];
    }
    rep(i,1,T) printf("%lld\n", ans[i]);
    return 0;
}
好的,这是一道经典的单调栈问题。题目描述如下: 有 $n$ 个湖,第 $i$ 个湖有一个高度 $h_i$。现在要在这些湖之间挖一些沟渠,使得相邻的湖之间的高度差不超过 $d$。请问最少需要挖多少个沟渠。 这是一道单调栈的典型应用题。我们可以从左到右遍历湖的高度,同时使用一个单调栈维护之前所有湖的高度。具体来说,我们维护一个单调递增的栈,栈中存储的是湖的下标。假设当前遍历到第 $i$ 个湖,我们需要在之前的湖中找到一个高度最接近 $h_i$ 且高度不超过 $h_i-d$ 的湖,然后从这个湖到第 $i$ 个湖之间挖一条沟渠。具体的实现可以参考下面的代码: ```c++ #include <cstdio> #include <stack> using namespace std; const int N = 100010; int n, d; int h[N]; stack<int> stk; int main() { scanf("%d%d", &n, &d); for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &h[i]); int ans = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { while (!stk.empty() && h[stk.top()] <= h[i] - d) stk.pop(); if (!stk.empty()) ans++; stk.push(i); } printf("%d\n", ans); return 0; } ``` 这里的关键在于,当我们遍历到第 $i$ 个湖时,所有比 $h_i-d$ 小的湖都可以被舍弃,因为它们不可能成为第 $i$ 个湖的前驱。因此,我们可以不断地从栈顶弹出比 $h_i-d$ 小的湖,直到栈顶的湖高度大于 $h_i-d$,然后将 $i$ 入栈。这样,栈中存储的就是当前 $h_i$ 左边所有高度不超过 $h_i-d$ 的湖,栈顶元素就是最靠近 $h_i$ 且高度不超过 $h_i-d$ 的湖。如果栈不为空,说明找到了一个前驱湖,答案加一。
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