bzoj2987 Earthquake 类欧几里得

本文详细介绍了类欧几里得算法的应用,通过解决特定的数学问题来展示该算法的几何意义及其在求解非负整数解中的高效性。

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Description


给定a,b,c,求满足方程Ax+By<=C的非负整数解

A,B<=10^9.C<=Min(A,B)*10^9

Solution


考虑枚举x得到yCAxBy≤⌊C−AxB⌋
类欧几里得的经典应用,时间太紧了我就先去吃个饭回来再写
回来辣
类欧的几何意义可以看成是求一个梯形内的整点数,不包括纵坐标为0的点,包括边界上的点
先设f(n,a,b,c)=ni=0ai+bcf(n,a,b,c)=∑i=0n⌊ai+bc⌋
aca≥cbcb≥c,那么有
f(n,a,b,c)=(n+1)n2ac+(n+1)bc+f(n,a%c,b%c,c)f(n,a,b,c)=(n+1)n2⌊ac⌋+(n+1)⌊bc⌋+f(n,a%c,b%c,c)
至于怎么推的可以考虑把前面两项再塞回Σ里面看看

若两个都不满足,那么令m=na+bcm=⌊na+bc⌋,有
f(n,a,b,c)=ni=0mj=1[jai+bc]f(n,a,b,c)=∑i=0n∑j=1m[j≤⌊ai+bc⌋],这个可以看成是枚举可行的整点
我们把表达式单独拉出来jai+bcj≤⌊ai+bc⌋
化一下把i单独弄出来得到icj+cb1ai≥⌊cj+c−b−1a⌋,套进原本的柿子里面,这个就等同于一行一行枚举了
然后有f(n,a,b,c)=nmf(m1,c,cb1,a)f(n,a,b,c)=n∗m−f(m−1,c,c−b−1,a)

复杂度分析到处都有我就不贴了

Code


#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;

LL solve(LL n,LL a,LL b,LL c) {
    if (!c) return 0;
    if (a>=c||b>=c) {
        return solve(n,a%c,b%c,c)+(a/c)*n*(n+1)/2+(b/c)*(n+1);
    } else {
        LL m=(n*a+b)/c;
        return n*m-solve(m-1,c,c-b-1,a);
    }
}

int main(void) {
    LL a,b,c; scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    printf("%lld\n", solve(c/a,a,c%a,b)+c/a+1);
    return 0;
}
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