Description
给定a,b,c,求满足方程Ax+By<=C的非负整数解
A,B<=10^9.C<=Min(A,B)*10^9
Solution
考虑枚举x得到y≤⌊C−AxB⌋y≤⌊C−AxB⌋
类欧几里得的经典应用,时间太紧了我就先去吃个饭回来再写
回来辣
类欧的几何意义可以看成是求一个梯形内的整点数,不包括纵坐标为0的点,包括边界上的点
先设f(n,a,b,c)=∑ni=0⌊ai+bc⌋f(n,a,b,c)=∑i=0n⌊ai+bc⌋
若a≥ca≥c或b≥cb≥c,那么有
f(n,a,b,c)=(n+1)n2⌊ac⌋+(n+1)⌊bc⌋+f(n,a%c,b%c,c)f(n,a,b,c)=(n+1)n2⌊ac⌋+(n+1)⌊bc⌋+f(n,a%c,b%c,c)
至于怎么推的可以考虑把前面两项再塞回Σ里面看看
若两个都不满足,那么令m=⌊na+bc⌋m=⌊na+bc⌋,有
f(n,a,b,c)=∑ni=0∑mj=1[j≤⌊ai+bc⌋]f(n,a,b,c)=∑i=0n∑j=1m[j≤⌊ai+bc⌋],这个可以看成是枚举可行的整点
我们把表达式单独拉出来j≤⌊ai+bc⌋j≤⌊ai+bc⌋
化一下把i单独弄出来得到i≥⌊cj+c−b−1a⌋i≥⌊cj+c−b−1a⌋,套进原本的柿子里面,这个就等同于一行一行枚举了
然后有f(n,a,b,c)=n∗m−f(m−1,c,c−b−1,a)f(n,a,b,c)=n∗m−f(m−1,c,c−b−1,a)
复杂度分析到处都有我就不贴了
Code
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)
typedef long long LL;
LL solve(LL n,LL a,LL b,LL c) {
if (!c) return 0;
if (a>=c||b>=c) {
return solve(n,a%c,b%c,c)+(a/c)*n*(n+1)/2+(b/c)*(n+1);
} else {
LL m=(n*a+b)/c;
return n*m-solve(m-1,c,c-b-1,a);
}
}
int main(void) {
LL a,b,c; scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
printf("%lld\n", solve(c/a,a,c%a,b)+c/a+1);
return 0;
}