14、基于拍卖的生产模型市场均衡算法

基于拍卖的生产模型市场均衡算法

引言

在市场均衡的研究领域，Fisher和Walras在19世纪定义了由买家和商品构成的两种基本市场均衡模型。后来，Arrow和Debreu引入了一般生产模型，并证明了这些模型中均衡的存在性。在Arrow - Debreu模型里，每个生产向量（计划）位于一个指定的凸集内，负坐标代表原材料，正坐标代表成品。

对于计算均衡价格的问题，Eisenberg和Gale为Fisher模型在线性效用函数的情况下给出了一个凸规划。对于生产模型，当模型仅限于正生产向量时，也得到了一些凸规划。近年来，理论计算机科学界在计算均衡问题上十分活跃，主要成功的技术有原始 - 对偶模式和拍卖算法。这些算法通过迭代提高价格来寻找均衡价格，适用于满足弱总替代性的模型，即提高一种商品的价格不会减少另一种商品的需求。

我们提出了一种基于拍卖的算法，用于解决这样的生产模型：买家对商品具有线性效用，生产者在其生产计划上有单一的线性容量约束。我们假设原材料在当前市场之外，对于给定的商品价格，每个生产者选择使利润最大化的可行计划，每个买家选择使效用最大化的商品束，目标是找到使市场出清的价格，即所有生产的商品都被购买，且没有商品短缺。

与Fisher和Walras的消费者模型不同，生产模型中每种商品的可用量会随商品价格变化。不过，我们的生产模型（具有单一约束）满足弱总替代性，这意味着提高一种商品的价格不会减少对另一种商品的需求，也不会增加其生产。因此，只增加价格的算法原则上可以达到均衡，我们的拍卖算法就不需要降低价格，其操作与现实市场中的行为相符。

生产模型

我们考虑一个有$q$个生产者、$b$个消费者和$m$种商品的市场。生产者$