59、二分平面图的线性布局研究

二分平面图的线性布局研究

1. 二分平面图的布局问题概述

在图论领域，二分平面图的线性布局是一个重要的研究方向。线性布局主要涉及队列布局和栈布局，队列布局是将图的顶点按一定顺序排列，使得边可以被分配到不同的队列中，且队列中的边不会交叉；栈布局则是使用栈来管理边的排列。

1.1 特定图的布局限制

对于图 (G_d(w))，当 (d \geqslant 3) 且 (w \geqslant 24) 时，它不允许有 2 - 队列布局。通过 SAT 求解器验证，队列数为 3 的最小图是 (G_4(4))，它包含 259 个顶点。此外，当 (d \geqslant 3) 且 (w \geqslant 154) 时，图 (G_d(w)) 不允许有 1 - 队列 1 - 栈布局，具有此特性的最小图是 (G_3(5))，有 128 个顶点。

1.2 相关定理

• 定理 6 ：存在一个 2 - 退化二分平面图，其队列数至少为 3。
• 定理 7 ：存在一个 2 - 退化二分平面图，它不允许有 1 - 队列 1 - 栈布局。

2. 2 - 退化四角剖分图的性质

2 - 退化四角剖分图是一种特殊的图，它可以从一个 4 - 循环开始，通过反复添加度为 2 的顶点并保持所有面的长度为 4 来构造。每个 2 - 退化四角剖分图都是 4 - 树的子图。

2.1 树划分的概念

树划分是研究图布局的一个重要工具。对于给定图 (G) 的树划分 (T)，若 (x) 是 (T) 中的一个节点，