26、平面图的混合线性布局研究

平面图的混合线性布局研究

1. 特定顶点排序下平面图不具有混合布局的情况

在研究平面图的混合布局时，存在一些特定的顶点排序情况，使得图不具有混合布局。以下是两种具体情况：
- Case 3 (AstB) ：假设对于所有 (1 \leq i \leq 4)，顶点排序为 ([A, s_i, t_i, B])，其中 (s_i) 和 (t_i) 是双胞胎顶点。
- 证明思路 ：设顶点排序为 ([A, d_1, d_2, \ldots, d_8, B])，其中 (s_i, t_i \in {d_1, \ldots, d_8})。由于边 ((A, d_8)) 和 ((d_1, B)) 交叉，不妨设 ((A, d_8) \in Q)。考虑 (d_1, d_2, \ldots, d_7) 这七个顶点，它们形成三对双胞胎顶点（第四对由 (d_8) 构成）。根据相关引理，这种情况是不可能的。
- Case 4 (ABst) ：假设对于所有 (1 \leq i \leq 4)，顶点排序为 ([A, B, s_i, t_i])。
- 证明思路 ：设顶点排序为 ([A, B, d_1, d_2, \ldots, d_8])，其中 (s_i, t_i \in {d_1, \ldots, d_8})。假设边 (e = (A, d_7) \in Q)，则边 ((B, d_6) \in S)，因为它被 (e) 覆盖。此外，(d_1, d_2, d_3, d_4, d_5) 这五个顶点至少形成一对双胞胎顶点。这对双胞胎顶点与 ((A, d_7) \in Q) 和 (