线段树：区间历史和 & 区间历史最值 & 区间最值操作

线段树：区间历史和 & 区间历史最值 & 区间最值操作

区间历史和

例题：Loj#193.线段树历史和。

一个数列，需要支持区间加、区间求和、区间求历史和。

矩阵乘法

每个点存 $len,s,h$ 分别表示区间长度、区间和、区间历史和。用一个行向量表示这些信息。

区间加 $v$ 则有转移，右相乘一个矩阵：
$$\left[\begin{array}{ccc}len& s& h\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& v& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}len& s+v\times len& h\end{array}\right]$$
求 $t$ 次历史和：
$$\left[\begin{array}{ccc}len& s& h\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& t\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}len& s& h+s\times t\end{array}\right]$$
那么维护区间向量和、懒标记维护转移矩阵的积即可。

矩阵转化为标记

由于转移的方向为 $len\to s\to h$，又由于转移矩阵 $a_{i,j}$ 表示 $i$ 对 $j$ 的贡献，所以可知矩阵的对角线为 $1$，上三角有值。

所以设转移矩阵上三角的值，计算相乘后的值。
$$\left[\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& x& y\\ 0& 1& z\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& x+a& y+az+b\\ 0& 1& z+c\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
所以可以用三个数表示一个标记，标记 $(a,b,c)$ 与标记 $(x,y,z)$ 合并后得 $(x+a,y+az+b,z+c)$。

而对于更新信息则有：
$$\left[\begin{array}{ccc}len& s& h\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}len& s+a\times len& b\times len+c\times s+h\end{array}\right]$$
考虑实际意义：$a$ 是区间加的标记，$b$ 像是加标记的历史和，$c$ 则是历史和的次数。

通过上面的过程可以看出，矩阵乘法和标记转移本质是相同的，不过直接矩阵乘法有很多无用的乘法，常数较大，可以通过取出那些有用的值转化为标记。

通过记录。

区间历史最值

例题：CPU 监控。

一个数列，支持区间加、区间赋值、区间最值、区间历史最值。

矩阵乘法

考虑设 $s,h$ 表示区间的最值与历史最值。

运用广义矩阵乘法： c i , j = max ⁡ k { a i , k + b k , j } c_{i,j}=\max_{k} \{a_{i,k}+b_{k,j}\} ci,j​=maxk​{ai,k​+bk,j​}。即把 $\times \to +$ 且 $+\to \max$。向量加也要变成向量 $\max$。

把信息写成行向量，右乘转移矩阵。我们需要保留一项 $0$ 用于做赋值操作。

区间加 $v$ 并取历史最值：
$$\left[\begin{array}{ccc}s& h& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}v& v& -\inf \\ -\inf & 0& -\inf \\ -\inf & -\inf & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}s+v& \max (s+v,h)& 0\end{array}\right]$$
区间赋值 $v$：
$$\left[\begin{array}{ccc}s& h& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-\inf & -\inf & -\inf \\ -\inf & 0& -\inf \\ v& v& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}v& \max (v,h)& 0\end{array}\right]$$
维护区间的向量 $\max$，懒标记的矩阵积即可。注意单位矩阵的主对角线为 $0$。

矩阵转化为标记

注意到转移的方向为 $s\to h$ 和 $0\to s$ 和 $0\to h$，且 $s\to s$ 有权。

所以我们需要维护 $(1,1)(1,2)(3,1)(3,2)$ 这四个位置的值。
$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& -\inf \\ -\inf & 0& -\inf \\ c& d& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x& y& -\inf \\ -\inf & 0& -\inf \\ z& w& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a+x& \max (a+y,b)& -\inf \\ -\inf & 0& -\inf \\ \max (x+c,z)& \max (c+y,d,w)& 0\end{array}\right]$$
那么更新信息就有：
$$\left[\begin{array}{ccc}s& h& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a& b& -\inf \\ -\inf & 0& -\inf \\ c& d& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\max (s+a,c)& \max (s+b,h,d)& 0\end{array}\right]$$
通过记录。注意当若干 $-\inf$ 相加时可能会超过 long long 的范围，所以小于 $-\inf $ 时要重新赋值为 $-\inf$，代码中使用 check 函数实现这个功能。

懒标记与信息的封装的示例代码：

const int inf=1e16;
int check(int x) {
	if(x<-inf) x=-inf;
	if(x>inf) x=inf;
	return x;
}
struct tag{
	int a,b,c,d;
	tag operator+(tag x) {
		return (tag){
			check(a+x.a),
			max(check(a+x.b),b),
			max(check(c+x.a),x.c),
			max(check(c+x.b),max(x.d,d))
		};
	}
};
struct arr {
	int s,h;
	arr operator+(arr x) {return (arr){max(s,x.s),max(h,x.h)};}
	arr operator*(tag x) {return (arr){max(check(s+x.a),x.c),max(check(s+x.b),max(h,x.d))};}
};

区间最值操作

例题：线段树 3。

修改：区间加，区间 chkmin。

查询：区间和，区间最大值，区间历史最大值。

不带赋值操作的区间历史最大值

把上一节中矩阵的第三行与第三列删去即可得到此时的转移矩阵。

设 $s,h$ 表示最值、历史最值，$a,b$ 表示加标记、加标记的历史最大值。

更新信息为 $s\leftarrow s+a,h\leftarrow \max (h,s+b)$，合并标记为 $a\leftarrow a+x,b\leftarrow \max (a+y,b)$。

加入最值操作

线段树显然不能直接区间取 $\min$，考虑到区间对 $v$ 取 $\min$ 就是把所有大于 $v$ 的数赋值为 $v$，或者说把所有大于 $v$ 的数分别减去一个数，使得它们都变成 $v$。

我们对一个区间取 $\min$ 时，可以递归到每个子区间都只有一种大于 $v$ 的值时打上标记。

具体来说我们维护三个值：区间最大值 $mx$，区间严格次大值 $ms$，区间最大值的个数 $cnt$。有这样的策略：

• 当 $mx\le v$ 时，不需要操作。
• 当 $ms<v<mx$，更新信息，打上标记并返回，发现此时 $mx$ 变为 $v$，$cnt$ 不变。
• 当 $v\le ms$ 时，此时不能更新继续递归。

根据势能分析证明，当只有最值操作时复杂度是 $O(m\log n)$，而如果有区间加操作，复杂度是 $O(m{\log }^{2}n)$，具体证明请另找资料。

我们需要对最大值和非最大值分别维护上述两种标记，即加标记与加标记的历史最大值。

可以想到，下传标记时需要看子区间最大值是否是当前区间的最大值，然后选择下传最大值的标记或非最大值的标记。

但是这里有坑点：选择下传最大值或非最大值的标记时，不能直接用两个区间的最大值比较，因为可能其中一个下传了标记，一个没有下传标记，因此我们可以在合并时记录 $fro{m}_x$ 表示节点 $x$ 此前的最大值由哪一个区间而来。

时间复杂度 $O(m{\log }^{2}n)$。通过记录。

具体实现

可以将懒标记封装起来，用重载运算符定义合并。

struct tag{
	int a,b;
	tag operator+(tag x) {
		return (tag){a+x.a,max(a+x.b,b)};
	}
};

一些定义。h 是历史最值，s 是区间和，t1 和 t2 是最大值和非最大值的标记。

int mx[N*4],ms[N*4],h[N*4],cnt[N*4],s[N*4],from[N*4];
tag t1[N*4],t2[N*4];

合并信息与下传标记。注意下传完后要把懒标记清空。这里 from[x]==0 时则说明两个子区间都是最大值，否则 from[x] 就是儿子的编号。

void pushup(int x) {
	s[x]=s[ls]+s[rs];
	h[x]=max(h[ls],h[rs]);
	if(mx[ls]==mx[rs]) {
		mx[x]=mx[ls];
		cnt[x]=cnt[ls]+cnt[rs];
		ms[x]=max(ms[ls],ms[rs]);
		from[x]=0;
		return;
	}
	int c1=ls,c2=rs;
	if(mx[c1]<mx[c2]) swap(c1,c2);
	mx[x]=mx[c1],ms[x]=max(ms[c1],mx[c2]),cnt[x]=cnt[c1];
	from[x]=c1;
}
void pushdown(int x,int l,int r) {
	if(l<r) {
		if(ls==from[x]||!from[x]) t1[ls]=t1[ls]+t1[x];
		else t1[ls]=t1[ls]+t2[x];
		if(rs==from[x]||!from[x]) t1[rs]=t1[rs]+t1[x];
		else t1[rs]=t1[rs]+t2[x];
		t2[ls]=t2[ls]+t2[x],t2[rs]=t2[rs]+t2[x];
	}
	h[x]=max(h[x],mx[x]+t1[x].b);
	s[x]+=cnt[x]*t1[x].a;
	mx[x]+=t1[x].a;
	s[x]+=(r-l+1-cnt[x])*t2[x].a;
	if(ms[x]!=-inf) ms[x]+=t2[x].a;
	t1[x]=t2[x]=(tag){0,0};
}

修改的写法。注意由于取 $\min$ 操作与区间最大值有关，所以要首先下传标记。

void chkmin(int x,int l,int r,int L,int R,int y) {
	pushdown(x,l,r);
	if(R<l||r<L) return;
	if(L<=l&&r<=R) {
		if(mx[x]<=y) return;
		if(ms[x]<y) {
			t1[x]=t1[x]+(tag){y-mx[x],y-mx[x]};
			pushdown(x,l,r);
			return;
		}
		chkmin(ls,l,mid,L,R,y),chkmin(rs,mid+1,r,L,R,y);
		pushup(x);
		return;
	}
	chkmin(ls,l,mid,L,R,y),chkmin(rs,mid+1,r,L,R,y);
	pushup(x);
}
void add(int x,int l,int r,int L,int R,int y) {
	if(L<=l&&r<=R) {
		t1[x]=t1[x]+(tag){y,y};
		t2[x]=t2[x]+(tag){y,y};
		pushdown(x,l,r);
		return;
	}
	pushdown(x,l,r);
	if(R<l||r<L) return;
	add(ls,l,mid,L,R,y),add(rs,mid+1,r,L,R,y);
	pushup(x);
}