CF1316E Team Building（状压dp）

题意

$n$ 个人， $p$ 个位置，选 $p$ 人作为每个位置的运动员，再选 $k$ 个作为观众。
每个人作为运动员在每个位置的权值 $s_{i,p}$ 和每个人作为观众权值 $a_i$ 已知。
$n\le 100000,p\le 7$

分析

这题并不难想，可惜比赛时没时间了QAQ
首先假设选完运动员，我们选观众肯定是从大到小选的。
所以先将 $a_i$ 从大到小排序。
然后我们考虑一下最终选出人的集合。
首先前面一部分肯定是连续的，即是 $1,2...t$ 都被选。因为如果有没被选的，可以让他和最后一个观众交换，结果一定更优。
再看一下，作为观众的 $k$ 个人一定是在前 $k+p$ 个人中选出来的，原理同上。
我们设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个人，选出的位置集合为 $j$ 的最大值。
所以当 $i>k+p$ 时，每个人都只能作为运动员，转移方程为：
f i , j = max ⁡ { f i − 1 , j − ( 1 < < l ) + v p i , l + 1   ( l ∈ j ) } f_{i,j}=\max\{f_{{i-1,j -(1<<l)}}+v_{p_i,l+1}~(l\in j)\} fi,j​=max{fi−1,j−(1<<l)​+vpi​,l+1​ (l∈j)}
其中 $p$ 是第 $i$ 个人的原编号。
再考虑 $i\le k+p$ 时，转移分两种情况：

1. 第 $i$ 个人可以作为观众，考虑需满足的条件：记 $cnt$ 为集合 $j$ 中元素个数，那么 $i\le cnt+k$，转移方程为：
   f i , j = max ⁡ { f i − 1 , j + a i } f_{i,j}=\max\{f_{{i-1},j}+a_i\} fi,j​=max{fi−1,j​+ai​}
2. 第 $i$ 个人为运动员，转移方程：
   f i , j = max ⁡ { f i − 1 , j − ( 1 < < l ) + v p i , l + 1   ( l ∈ j ) } f_{i,j}=\max\{f_{{i-1,j -(1<<l)}}+v_{p_i,l+1}~(l\in j)\} fi,j​=max{fi−1,j−(1<<l)​+vpi​,l+1​ (l∈j)}

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define LL long long
using namespace std;
struct node{
	int i, v;
	bool operator < (const node & A) const{
		return v > A.v;
	}
}d[N];
LL z = 1, f[N][(1 << 7)];
int v[N][8];
int count(int x){
	int s = 0;
	while(x){
		if(x & 1) s++;
		x >>= 1;
	}
	return s;
}
int main(){
	int i, j, t, l, n, m, p, k, cnt;
	scanf("%d%d%d", &n, &p, &k);
	for(i = 1; i <= n; i++){
		scanf("%d", &d[i].v);
		d[i].i = i;
	}
	sort(d + 1, d + i);
	for(i = 1; i <= n; i++){
		for(j = 1; j <= p; j++) scanf("%d", &v[i][j]);
	}
	memset(f, 0xc0, sizeof(f));
	f[0][0] = 0;
	for(i = 1; i <= n; i++){
		for(j = 0; j < (1 << p); j++){
			cnt = count(j);
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			if(i <= p + k && i - cnt <= k) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j] + d[i].v);
			for(l = 0; l < p; l++){
				if(1 << l & j) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j ^ (1 << l)] + v[d[i].i][l + 1]);
			}
		}
	}
	printf("%lld", f[n][(1 << p) - 1]);
	return 0;
}