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思维题

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本文介绍了一种处理大规模二进制数据的算法，通过逐位分析和优化，实现快速计算二进制位上特定模式出现的次数。该算法采用二分查找技术，复杂度为O(26nlogn)，适用于处理大量数据的二进制位运算问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

求 $(a_1 + a_2) \oplus (a_1 + a_3) \oplus \ldots \oplus (a_1 + a_n) \\ \oplus (a_2 + a_3) \oplus \ldots \oplus (a_2 + a_n) \\ \ldots \\ \oplus (a_{n-1} + a_n)$

其中 $n\leq 400000$ ， $a_i\leq10^7$

分析

这场用手速上了紫嘿嘿嘿，不过 $D$ 没做出来还是太菜了。
对于这种二进制的题，都是一位一位考虑。这里考虑答案的第 $k$ 位。
我们将每个数取前 $k$ 位。现在就是考虑 $a_i+a_j$ 第 $k$ 位为 $1$ 的对数。
第 $k$ 位为 $1$ 只有两种情况：

第 $k$ 位为 $1$ ，第 $k + 1$ 位为 $0$
这种情况就是大于 $2^k-a_i$ 的个数减去大于 $2^{k+1}-a_i$ 的个数
第 $k$ 位和第 $k + 1$ 位都为 $1$
这种情况就是大于 $2^k+2^{k+1}-a_i$ 的 $a_j$ 个数

加起来就是第 $k$ 位为 $1$ 的对数了。
二分找个数复杂度 $O (l o g n)$
总共 26 位
复杂度 $O (26 n l o g n)$

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define N 400005
using namespace std;
int a[N], b[N], n;
int get(int l, int x){
	if(b[n] < x) return 0;
	int r = n, mid;
	while(l < r){
		mid = l + r >> 1;
		if(b[mid] >= x) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	return n - l + 1;
}
int main(){
	int i, j, m, sum, ans = 0;
	scanf("%d", &n);
	for(i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	for(j = 0; j <= 26; j++){
		for(i = 1; i <= n; i++) b[i] = a[i] & ((1 << j + 1) - 1);
		//printf("%d======\n", j);
		//for(i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", b[i]);
		//printf("\n");
		sort(b + 1, b + i);
		sum = 0;
		for(i = 1; i < n; i++){
			sum = (sum + get(i + 1, (1 << j) - b[i])) % 2;
			sum = (sum - get(i + 1, (1 << j + 1) - b[i])) % 2;
			sum = (sum + get(i + 1, (1 << j) + (1 << j + 1) - b[i])) % 2;
		}
		//printf("sum === %d\n", sum);
		if(sum % 2) ans |= (1 << j);
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}