杜教筛学习笔记

前置知识

狄利克雷卷积

若$$f(n)=\sum _{i|n}g(i)h(\frac{n}{i})$$
则记 $f=g\ast h$

杜教筛

假如要求某积性函数 $f(n)$ 的前缀和 $(n<10^{12})$。
假设另一个积性函数为 $g(n)$，$h=f\ast g$，记 $s(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$
则有$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{n}h(n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j|i}g(j)f(\frac{i}{j}) \\ =\sum _{j=1}^{n}g(j)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{j}\rfloor }f(i)=\sum _{j=1}^{n}g(j)s(\lfloor \frac{n}{j}\rfloor ) \end{gathered}$$
然后把 $j=1$ 单独拎出来，有
$$\sum _{i=1}^{n}h(n)=g(1)s(n)+\sum _{j=2}^{n}g(j)s(\lfloor \frac{n}{j}\rfloor )$$
那么 $s(n)=\frac{\sum _{i=1}^{n}h(n)-\sum _{j=2}^{n}g(j)s(\lfloor \frac{n}{j}\rfloor )}{g(1)}$
如果 $h(n)$ 可以快速求出来，我们就能很快求出 $s(n)$

下面举一些例子

求 $\sum _{i=1}^n\phi (n)(n<10^{11})$
注意到 $n=\sum _{i|n}\phi (i)$，也就是 $Id=\phi \ast 1$
那么我们让 $h(n)=n$，$g(n)=1$
代入上式中，那就有
$s(n)=\frac{n\ast (n+1)}{2}-\sum _{j=2}^{n}s(\lfloor \frac{n}{j}\rfloor )$
然后 $\sqrt{n}$ 枚举关键点 $j$，递归求 $s(\lfloor \frac{n}{j}\rfloor )$
复杂度大概是 $O(n^{\frac{3}{4}})$
为了加速，我们可以先线性预处理 $1e7$ 的前缀和
这样递归只用递归大于 $1e7$ 的关键点
然后对于大于 $1e7$ 的关键点，为了防止重复访问，我们采用记忆化，将 $x$ 这个点的值存在 $f[n/x]$ 里面。
复杂度大概是 $O(n^{\frac{2}{3}})$

一道模板题

洛谷 $p4213$

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define N 3000005
using namespace std;
LL z = 1, sphi[N], t, smu[N], f[5005], g[5005];
int maxn = N - 5, cnt, n, p[N], x[N], mu[N], phi[N];
LL getphi(int x){
	int i, j;
	LL s = 0;
	unsigned l, r;
	if(x <= maxn) return sphi[x];
	if(f[n / x]) return f[n / x];
	for(l = 2; l <= x; l = r + 1){
		r = x / (x / l);
		s = s + (r - l + 1) * getphi(x / l);
	}
	f[n / x] = z * x * (x + 1) / 2 - s;
	return f[n / x];
}
LL getmu(int x){
	int i, j;
	LL s = 0;
	unsigned l, r;
	if(x <= maxn) return smu[x];
	if(g[n / x]) return g[n / x];
	for(l = 2; l <= x; l = r + 1){
		r = x / (x / l);
		s = s + (r - l + 1) * getmu(x / l);
	}
	g[n / x] = z - s;
	return g[n / x];
}
int main(){
	int i, j, T;
	mu[1] = phi[1] = 1;
	for(i = 2; i <= maxn; i++){
		if(!x[i]) x[i] = p[++cnt] = i, mu[i] = -1;
		for(j = 1; j <= cnt; j++){
			t = z * i * p[j];
			if(t > maxn) break;
			x[t] = p[j];
			if(i % p[j] == 0) break;
			mu[t] = -mu[i];
		}
	}
	for(i = 2; i <= maxn; i++){
		if(x[i / x[i]] == x[i]) phi[i] = phi[i / x[i]] * x[i];
		else phi[i] = phi[i / x[i]] * (x[i] - 1);
	}
	for(i = 1; i <= maxn; i++) sphi[i] = sphi[i - 1] + phi[i], smu[i] = smu[i - 1] + mu[i];
	scanf("%d", &T);
	while(T--){
		memset(f, 0, sizeof(f));
		memset(g, 0, sizeof(g));
		scanf("%d", &n);
		printf("%lld %lld\n", getphi(n), getmu(n));
	}
	return 0;
}