cf 1182E Product Oriented Recurrence（欧拉定理 + 矩阵快速幂-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/iamhpp/article/details/104012189

该博客介绍了如何利用欧拉定理和矩阵快速幂的方法解决给定的线性递推关系问题。给出了具体的问题描述、输入输出格式以及示例。在分析部分，博主解释了通过取对数转换递推公式，并构建矩阵来应用矩阵快速幂求解。最后，提供了实现代码片段。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

description

Let $f_{x} = c^{2x-6} \cdot f_{x-1} \cdot f_{x-2} \cdot f_{x-3}$ for $\geq 4$
You have given integers $n$ , $f_1$ , $f_2$ , $f_3$ , and $c$ . Find $f_n ~mod~(10^9+7)$ .

Input

The only line contains five integers $n$ , $f_1$ , $f_2$ , $f_3$ , and $c$ ( $4≤n≤10^{18}, 1≤f_1, f_2, f_3, c≤10^9$ ).

Output

Print ${f_n~mod~(10^9+7)}$ .

Examples

Input

5 1 2 5 3

Output

72900

Input

17 97 41 37 11

Output

317451037

分析

对原式子两边取对数，有
$lnf_x=(2x-6)\cdot lnc +lnf_{x-1}+lnf_{x-2}+lnf_{x-3}$
可以构造出矩阵，即
$\left( \begin{matrix} lnf_n&lnf_{n-1}&lnf_{n-2}&(2n-4)lnc&lnc \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} lnf_{n-1}&lnf_{n-2}&lnf_{n-3}&(2n-6)lnc&lnc \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1&1&0&0&0\\ 1&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0\\ 1&0&0&1&0\\ 0&0&0&2&1 \end{matrix} \right)$
矩阵快速幂即可。
注意矩阵快速幂取模的时候是对 $\varphi(1e9+7)$ 即 $1 e 9 + 6$ 取模(欧拉定理

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define mem(p) memset(&p, 0, sizeof(p))
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
const int modd = 1e9 + 6;
struct mat{
	LL a[5][5], r, c;
};
LL n, f1, f2, f3, c;
mat mul(mat x, mat y){
	mat p;
	mem(p);
	LL i, j, k;
	for(i = 0; i < x.r; i++){
		for(j = 0; j < y.c; j++){
			for(k = 0; k < x.c; k++)
				p.a[i][j] = (p.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j] % modd) % modd;
		}
	}
	p.r = x.r;
	p.c = y.c;
	return p;
}
LL KSM(LL a, LL b, LL p){
	LL s = 1;
	while(b){
		if(b % 2) s = s * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b /= 2;
	}
	return s;
}
LL ksm(LL b){
	mat ans, p;
	mem(ans);
	mem(p);
	p.a[0][0] = p.a[1][0] = p.a[2][0] = p.a[3][0] = p.a[0][1] = p.a[1][2] = p.a[3][3]
	= p.a[4][4] = 1;
	p.a[4][3] = 2;
	p.c = p.r = 5;
	ans = p;
	while(b > 0ll){
		if(b % 2) ans = mul(ans, p);
		p = mul(p, p);
		b /= 2;
	}
	//printf("%lld %lld %lld %lld\n", ans.a[3][0] * 2 + ans.a[4][0], ans.a[2][0], ans.a[1][0], ans.a[0][0]);
	return KSM(c, (ans.a[3][0] * 2 % modd + ans.a[4][0]) % modd, mod) * KSM(f1, ans.a[2][0], mod) % mod * KSM(f2, ans.a[1][0], mod) % mod * KSM(f3, ans.a[0][0], mod) % mod;
}
int main(){
	int i, j, m;
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &n, &f1, &f2, &f3, &c);
	printf("%lld", (ksm(n - 4) % mod + mod) % mod);
	return 0;
}