3、工程师使用MATLAB进行等几何分析：FEA与IGA方法对比

工程师使用MATLAB进行等几何分析：FEA与IGA方法对比

1. 样条概述

在早期建造木制帆船、金属汽车和铝制飞机时，工匠们需要绘制经过众多点且位置、斜率和曲率连续的长曲线。他们使用细长的柔性梁，通过重物（称为“鸭子”）固定插值点，使梁平滑弯曲，这种方式强调梁的斜率和曲率连续性，即如今所说的C2连续性。

18世纪晚期，数学家将此类曲线识别为特殊多项式（基样条，即B样条）并开始研究。当多项式在控制点（CP）处精确插值一组数据时，称为插值多项式；否则称为非插值多项式。

20世纪50年代末，随着数字计算机时代的到来，两位法国汽车设计师Paul de Casteljau和Pierre E. B´ezier分别在雪铁龙和雷诺公司同时发现了如今所称的贝塞尔曲线。20世纪70年代末，de Boor、Cox等人开发了这些样条的现代版本以及用于评估和显示样条的高效计算机算法。

此后，贝塞尔曲线及其扩展到非均匀有理B样条（NURBS）在大多数复杂工程部件的几何设计中变得普遍。最近，这些几何工具被扩展并补充用于工程分析应用，这些扩展现已成熟，等几何分析（IGA）应运而生。

1967年，Zienkiewicz引入了使用插值多项式的有限元分析（FEA）开创性著作，主要是用于二维和三维应用的C0族。在FEA研究中创建具有C1或C2连续性的二维插值一直很困难，这成为FEA分析的一个缺口。而IGA中数学样条的使用被证明是FEA概念的重要扩展。

2. B样条概述

对于曲线、曲面和体积的B样条和NURBS的经典介绍可参考相关资料。B样条曲线在物理空间的方程是几何伯恩斯坦基函数$N_{i,p}(u)$（次数为$p$）与相应控制点$P