16、二阶偏微分方程与等几何分析：理论、方法与实例

二阶偏微分方程与等几何分析：理论、方法与实例

在工程和科学领域中，偏微分方程（PDE）的求解是一个核心问题。二阶偏微分方程在许多实际应用中广泛出现，如热传导、流体力学等。本文将深入探讨二阶偏微分方程的相关理论、求解方法以及具体实例，特别是通过等几何分析（IGA）结合MATLAB进行求解。

1. 基础理论：四阶椭圆常微分方程与基函数导数

在处理四阶椭圆常微分方程时，B样条和非均匀有理B样条（NURBS）是常用的工具。当载荷出现不连续时，在分析节点向量中引入一个或多个重复节点，可以使五次B样条或NURBS得到更准确的近似。

基函数的物理导数在等几何分析中起着关键作用。以下是基函数导数的相关公式：
- 一阶导数：$\frac{\partial N(u)}{\partial x} = \frac{\partial N(u)}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}$
- 二阶导数：$\frac{\partial^2 N(u)}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial N(u)}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}) = (\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial N(u)}{\partial u}) \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial N(u)}{\partial u} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
- 当$\frac{\partial u}{\pa