21、弹性问题的等几何分析及MATLAB实现

弹性问题的等几何分析及MATLAB实现

1. 基础概念

在弹性问题的分析中，以往处理的是标量形式的主要未知量，如温度，每个分析控制点只需一个未知自由度（$n_g = 1$）。而现在，需要将方法扩展到对位移向量的三个分量进行插值，即$n_g = 3$，这在弹性力学公式中起着关键作用。

位移向量在每个iElement（三维节点跨度）内的三个标量分量可通过基函数向量表示：
- $u(x, y, z) = [N_{rst}(r, s, t)]{u_e}$
- $v(x, y, z) = [N_{rst}(r, s, t)]{v_e}$
- $w(x, y, z) = [N_{rst}(r, s, t)]{w_e}$

iElement的位移自由度可表示为：
$\delta_e^T = [u_1, v_1, w_1, u_2, \cdots, \cdots, u_{nn}, v_{nn}, w_{nn}]_e$

系统未知量向量为：
$\delta^T = [u_1, v_1, w_1, u_2, v_2, \cdots, \cdots, u_{nm}, v_{nm}, w_{nm}]$

通常，在IGA和FEA文献中，用符号$[N(r, s, t)]$表示单元内某点位移向量的插值：
$\begin{cases}
u(x, y, z) \
v(x, y, z) \
w(x, y, z)
\end{cases} = {u(x, y, z)} \equiv [N(r, s, t)]{\delta_e}$

其中，$n_g = 3$为每个AP的广