19、基于MATLAB的等几何分析：泊松问题求解与步骤总结

基于MATLAB的等几何分析：泊松问题求解与步骤总结

1. NAFEMS基函数的选择

在实际运用等几何分析（IGA）解决图中所示的泊松问题时，通常会采用至少三次的非均匀有理B样条（NURBS）或T样条，并且所有分析阶段都需进行数值计算。为了便于学习和明确各个步骤，这里先使用低阶B样条。

经验表明，温度在x方向变化更快，因此在相关的r方向选择二次分析节点向量$A(r) = {0, 0, 0, 1/2, 1, 1, 1}$。在y方向，选择更简单的线性分析节点向量$A(s) = {0, 0, 1, 1}$。

1.1 x方向的Bezier基函数

x方向的Bezier基函数有四个控制点（CP）。在单位坐标(r)下，非零值基函数如下：
| 序号 | 基函数$N(r)$ | 导数$dN(r)/dr$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | $[(1 - 2r)^2, 0]$ | $[8r - 4, 0]$ |
| 2 | $[2r(2 - 3r), 2(1 - r)^2]$ | $[4 - 12r, 4r - 4]$ |
| 3 | $[2r^2, -6r^2 + 8r - 2]$ | $[4r, 8 - 12r]$ |
| 4 | $[0, (1 - 2r)^2]$ | $[0, 8r - 4]$ |

所选的控制x坐标使得几何映射雅可比行列式在两个r节点区间都为常数$|J_{r:L}| = L_x/2$，但在实际应用中这种情况很少见。

1.2 y方向的线性Bezier基函数

y方向的线性Bezier基函数有两个控制点。在单位