19、基于MATLAB的等几何分析：二阶偏微分方程求解

基于MATLAB的等几何分析：二阶偏微分方程求解

1. NAFEMS基函数的选择

在实际应用等几何分析（IGA）求解泊松问题时，通常会使用至少3次的NURBS或T样条，并且所有分析阶段都需进行数值计算。为了便于理解和教学，这里先使用低次B样条。

根据经验，温度在x方向变化更快，因此在r方向选择二次分析节点向量 $A(r) = {0, 0, 0, 1/2, 1, 1, 1}$；在y方向选择更简单的线性节点向量 $A(s) = {0, 0, 1, 1}$。

1.1 x方向的Bezier基函数

x方向的Bezier基函数有4个控制点（CP），在单位坐标(r)下，非零基函数及其导数如下表所示：
| 序号 | 基函数 $N(r)$ | 导数 $dN(r)/dr$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | $[(1 - 2r)^2, 0]$ | $[8r - 4, 0]$ |
| 2 | $[2r(2 - 3r), 2(1 - r)^2]$ | $[4 - 12r, 4r - 4]$ |
| 3 | $[2r^2, -6r^2 + 8r - 2]$ | $[4r, 8 - 12r]$ |
| 4 | $[0, (1 - 2r)^2]$ | $[0, 8r - 4]$ |

选择上述控制点x坐标是为了使几何映射雅可比行列式在两个r节点区间内保持常数 $|J_{r:L}| = L_x/2$，但在实际应用中这种情况很少见。

1.2 y方向的Bezier基函数

y方向的线性Bezier基函数有2个控制点，在单位坐标下，s基函数及其导数如