22、有限域上本原多项式及向量函数相关研究

有限域上本原多项式及向量函数相关研究

有限域上本原多项式的理论基础

在有限域的研究中，多项式的性质是一个重要的课题。对于多项式 (h)，当它是零多项式，即对于所有 (t \leq m)，(\alpha_t \in R_{1,e_t}= 0) 时，(S(\psi(n), \chi_d)) 在 (d = 1) 时等于 (q^n - 1)，在 (d > 1) 时为 0。对于其他集合 ({\alpha_t \in R_{1,e_t} : t \leq m})，(h) 满足引理 2 的限制条件。并且，(h) 中典型单项式 (p^{e - e_t}\alpha_t x^t \in R_{1,e}) 的加权次数至多为 (tp^{e_t - 1} \leq m)，所以 (D_h \leq m)。根据引理 2，(h \neq 0) 的项对 (3.6) 右边的贡献的绝对值有上界 ((q^m - 1)q^{\frac{n}{2}}{m - 1 + (W(Q) - 1)m} = q^{\frac{n}{2}}(q^m - 1)(mW(Q) - 1))。由此可以得出 (3.4) 成立，进而 (3.5) 也成立。

当 (Q = q^n - 1) 时，我们得到定理 1、2 和 3 的一个条件版本推论 6：给定素数幂 (q) 以及任意正整数 (n) 和 (m < \frac{n}{2})，当 (q^{\frac{n}{2} - m} > mW(q^n - 1)) 时，存在首 (m) 个系数 (a_1, \cdots, a_m) 预先指定的本原多项式 (x^n + a_1x^{n - 1} + \cdots + a_n \in F_q[x])。

二元本原多项式的研究

当