【小记】为啥行列式的绝对值等于体积

其实证明并不是很严谨（

我们要证明的是：

对于 $n$ 个线性无关的 $n$ 维向量 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}$，由它们能围成一个 $n$ 维平行多面体 G = { ∑ i = 1 n k i v i ⃗ ∣ k i ∈ [ 0 , 1 ] } G=\{\sum_{i=1}^nk_i\vec{v_i}|k_i\in[0,1]\} G={∑i=1n​ki​vi​ ​∣ki​∈[0,1]}。

记矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}\overrightarrow{v_1}& \overrightarrow{v_2}& \cdots & \overrightarrow{v_n}\end{array}\right]$。那么 $G$ 的 “体积” $V=\left|\det (A)\right|$。

解释一下体积的定义，依据于下列两个结论：

• 若 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\cdots ,\overrightarrow{v_n}$ 两两垂直，则 $V={\prod }_{i=1}^n|\overrightarrow{v_i}|$。

• 同底等高的平行多面体体积相等。

接下来是证明：

对 $A$ 进行高斯消元，我们中间要进行两种操作：

• 交换两列。

• 一列加等于另一列的 $k$ 倍。

这两种操作后 $|\det (A)|$ 都不会改变，现在考虑证明经过这些操作后，$A$ 所代表的 $G$ 的体积不变。

• 交换两列：这甚至都不会改变 $G$。

• 一列加等于另一列的 $k$ 倍：对应地就是让 $\overrightarrow{v_i}$ 加等于 $k\overrightarrow{v_j}$（$i\ne j$）。下面该图展现了这个操作的几何意义：
  

  如图， { v k ⃗ } k ≠ i \{\vec{v_k}\}_{k\neq i} {vk​ ​}k​=i​ 能围成了 $n-1$ 维的平行多面体，这个平行多面体再沿 $\overrightarrow{v_i}$ 平移即可得到初始的 $G$。

  而让 $\overrightarrow{v_i}$ 加等于 $k\overrightarrow{v_j}$ 就可以看成让让上面那个 $n-1$ 维的平行多面体在它所在的 $n-1$ 维空间内平移。

  那么此时上下两个 $n-1$ 维的平行多面体间的距离（高）不会变，所以 $G$ 的体积也不会变。

于是我们证明了，经过高斯消元后，行列式的绝对值和对应的 $G$ 的体积都不会变。而此时矩阵变为对角矩阵，所代表的向量都是相互垂直的，于是此时行列式的绝对值等于 $G$ 的体积。那么高斯消元前行列式的绝对值也等于 $G$ 的体积。