【XSY4371】star（构造）-优快云博客

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该博客讨论了一种在给定序列条件下构造新序列的问题，涉及数学中的同余方程。当序列元素数量小于或等于n时，存在解的充要条件被给出，并提供了一个递归构造算法来证明充分性。算法通过逐位构造并调整，确保新序列满足条件。复杂度分析表明算法在期望情况下运行时间为O(nlogn)。

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题意：

给定值域在 $[0, n - 1]$ 的序列 $a_1,\cdots,a_{m}$ ，要求构造值域在 $[0, n - 1]$ 的序列 $b_1,\cdots,b_{m}$ 和 $c_1,\cdots,c_{m}$ ，使得 $b_i$ 两两不同、 $c_i$ 两两不同、且 $\forall i,b_i+c_i\equiv a_i\pmod n$ 。

$n\leq 10^5$ 。

题解：

首先说明有解的充要条件：

若 $m < n$ ，则一定有解；
若 $m = n$ ，则有解当且仅当 $\sum a_i\equiv 0\pmod n$ 。

必要性显然。下面的构造性算法将会说明充分性：

考虑逐位构造并调整。假设 $a$ 序列的前 $i$ 位已经有了对应的 $b, c$ ，现在需要构造 $a_i$ 。

对于 $i < n$ 时，可以选出两个未在 $b$ 中出现的数字 $x, y$ ，构造 $a_i,x,y)$ ：令 $b_i=x,c_i=a_i-x$ 。

此时若 $c_i$ 未出现过则构造成功。若 $c_i$ 已经出现过了，假设出现在了 $c_j$ ，那么我们递归构造 $a_j,y,b_j)$ 。

整个过程如左图所示。

在这里插入图片描述

可以证明过程中不会出现循环情况：若出现了，如右图，则必有 $\begin{cases}t_1+v_3\equiv a_{j_1}\equiv t_2+v_2\\t_2+v_4\equiv a_{j_2}\equiv t_3+v_3\\t_3+v_5\equiv a_{j_3}\equiv t_1+v_4\end{cases}\to v_2=v_5$ ，矛盾。

所以对于 $i < n$ 的情况我们一定可以构造成功。而对于 $i = n$ 的情况，发现只要满足 $\sum a_i\equiv 0\pmod n$ 那么剩下的 $b_n,c_n$ 一定满足要求。

我们先将 $a_i$ 随机打乱。那么每次递归构造 $a_i,x,y)$ 的时候，扔进来的 $x$ 实际上可以看做是一个随机数，那么对应的 $c_i=a_i-x$ 没有出现过的概率为 $\frac{n-i+1}{n}$ ，于是对于 $i$ 构造的期望递归次数为 $\frac{n}{n-i+1}$ 。那么总时间复杂度期望为 $O(n\log n)$ 。