左偏树原理记录

这玩意老是忘，还是记录一下吧（

考虑一般的合并两棵以 $x,y$ 为根的堆的过程：

• 若 $x,y$ 中有一者是 $0$，返回另一者。
• 否则不妨设 $v_x\le v_y$，那么我们就是把 $x$ 设为新的堆的根，然后选 $x$ 的某一个儿子和 $y$ 合并。

左偏树就是利用了第一条性质。我们设 “外节点” 表示只有至多一个儿子的节点，设一个点的 “距离” 表示这个点到其子树内最近的外节点的距离。

设节点 $x$ 的距离为 $d$，那么其子树内至少有 $O(2^d)$ 个节点。于是对于任意一棵大小为 $n$ 的堆，每个点的 “距离” 都是 $O(\log n)$ 级别的。

那么当我们合并两棵以 $x,y$ 为根的堆的时候，假设要选 $x$ 的某一个儿子和 $y$ 合并，那么我们就往离 $x$ 最近的外节点所在的那棵子树（即距离更小的那个儿子）走。这样在两棵堆上都至多走 $O(\log n)$ 步，所以合并的时间复杂度是 $O(\log n)$ 的。

而左偏树就是为了方便，强制令左儿子是距离更大的那个儿子，右儿子是距离更小的那个儿子。这样我们每次都往右儿子走即可。

但注意一个点的距离是 $O(\log n)$ 级别的，但是最深的那个点的深度是 $O(n)$ 级别的。所以当我们要问一个点所在的左偏树的根的时候，我们需要用路径压缩并查集来加速这个过程。

对了，这玩意还支持打标记，只不过是全局的（但合并之后就是局部的标记了）。