【XSY4231】人赢（图论，Hall定理，Trie树，树形DP）

首先二分答案，设为 $mid$。

现在的问题是：若 $a_i\oplus a_j\ge mid$，则 $i,j$ 之间有一条连边，判断是否存在一种选边方式使得每个点都恰好在一个简单环上（可以是自环或二元环）。

这个判定条件有点奇怪，一开始感觉有些性质，考场上除了想到只能是奇环或二元环就没想到啥了……

结果是一个妙妙转化，简单环可以看成置换，那么现在问题就变成了：是否存在一个 $1\sim n$ 的排列 $p$，使得 $\forall i,a_i\oplus a_{p_i}\ge mid$。

如果我们建一个二分图，然后若 $a_i\oplus a_j\ge mid$ 则让左边的 $i$ 向右边的 $j$ 连一条边，那么现在问题就变成了这个二分图是否存在完美匹配。

Hall 定理：

对于一个二分图 $A,B$（$|A|\le |B|$），设 $To(S)$ 为与点集 $S$ 相连的所有点组成的点集，那么这个二分图存在完美匹配（$A$ 中的点全部被匹配）当且仅当：对于任意一个 $A$ 的子集 $S$，均有 $|To(S)|\ge |S|$。

根据浩二定理，我们只需要求出 $|To(S)|-|S|$ 的最小值然后判断即可，但我们显然不能把边全部建出来（$O(n^2)$ 级别）。

一种很妙的做法是先把所有的 $a_i$ 插入 Trie 树中，然后设 $f_{i,j}$ 表示仅考虑二分图左边在 $i$ 子树内的点（即在 $i$ 子树中的 $a_i$）和右边在 $j$ 子树内的点构成的导出子图，求出这个子图 $|To(S)|-|S|$ 的最小值。

这里保证 $i,j$ 在 Trie 树的同一层中且 $i,j$ 之前的层异或起来和 $mid$ 是一样的。

换言之，假设 $i,j$ 都在第 $k$ 层（即 $i,j$ 的左右儿子都是按二进制下第 $k$ 位是 $0/1$ 来分的），那么 $i,j$ 的第 $k+1$ 位到最高位异或起来和 $mid$ 的第 $k+1$ 位到最高位是一样的，即我们尚不清楚 $i$ 子树内的点和 $j$ 子树内的点的连边关系。

那么我们最后要求的就是 $f_{rt,rt}$。

考虑转移，设 $l_i,r_i$ 分别表示 $i$ 的左儿子（$0$ 边）和右儿子（$1$ 边），$l_j,r_j$ 同理。设 $s{z}_u$ 表示 Trie 树上 $u$ 子树内包含多少个 $a_i$。

按 $mid$ 的第 $k$ 位分类讨论：

• 若为 $0$，则 $l_i$ 内的任何一个点都对 $r_j$ 内的所有点有连边，$r_i$ 内的任何一个点都对 $l_j$ 内的所有点有连边。

  讨论 $S$ 的选取范围：

  • 若什么都不选，则为 $0$。
  • 若只在 $l_i$ 内选，那么 $To(S)$ 一定包含 $r_j$ 内的所有点，那么我们只需要让 $l_i$ 和 $l_j$ 的导出子图中的 $|To(S)|-|S|$ 最小，则为 $s{z}_{r_j}+f(l_i,l_j)$。
  • 若只在 $r_i$ 内选，同理可得为 $s{z}_{l_j}+f(r_i,r_j)$。
  • 若在 $l_i,r_i$ 中同时有选，那么 $To(S)$ 就包含了 $l_j,r_j$ 内的所有点，是固定的，那么我们只需要让 $|S|$ 最大即可，则为 $s{z}_{l_j}+s{z}_{r_j}-s{z}_{l_i}-s{z}_{r_i}=s{z}_j-s{z}_i$。

• 若为 $1$，此时尽可能有 $l_i$ 和 $r_j$ 之间的连边和 $r_i$ 和 $l_j$ 之间的连边，化为两个子问题，有 $f(i,j)=f(l_i,r_j)+f(r_i,l_j)$。

观察 DP 的转移，发现这个 DP 事实上是 $O(n\log V)$ 的（Trie 树大小），感性的理解是把 $i,j$ 当做两个指针，那么相当于 $i,j$ 各把整棵 Trie 树遍历了一遍。

看起来严谨一点的证法可以设 $f(i,j)=O(s_i+s_j)$（其中 $s_u$ 表示 Trie 树中 $u$ 子树的大小），然后根据转移方程归纳证明。

再带上二分，这个算法的时间复杂度为 $O(n{\log }^{2}V)$ 的，有点卡常，注意一些边界情况。

#include<bits/stdc++.h>

#define N 500010

using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

const int V=30*N;

int n,a[N];
int node=1,ch[V][2],size[V];

void insert(int x)
{
	int u=1;
	size[u]++;
	for(int i=29;i>=0;i--)
	{
		bool v=(x>>i)&1;
		if(!ch[u][v]) ch[u][v]=++node;
		u=ch[u][v];
		size[u]++;
	}
}

int mid;

int dp(int a,int b,int k)
{
	if(!a) return 0;
	if(!b) return -size[a];
	if(k<0) return min(0,size[b]-size[a]);
	const int la=ch[a][0],ra=ch[a][1];
	const int lb=ch[b][0],rb=ch[b][1];
	if((mid>>k)&1) return dp(la,rb,k-1)+dp(ra,lb,k-1);
	return min(min(0,size[b]-size[a]),min(size[rb]+dp(la,lb,k-1),size[lb]+dp(ra,rb,k-1)));
}

int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=read();
		insert(a[i]);
	}
	int l=0,r=(1<<30)-1,ans;
	while(l<=r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		if(dp(1,1,29)>=0) ans=mid,l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}